[論文レビュー] Some Approximation Results by $(p,q)$-analogue of Bernstein-Stancu Operators (Revised)

M. Mursaleen, Khursheed J‎. ‎Ansari+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$[0,1]$ 上ですべての $x$ に対して $S_{n,p,q}(1;x) = 1$ が成り立つように、$(p,q)$- Bernstein-Stancu 演算子の $(p,q)$-類似を再考し、元の定式化における欠陥を是正する。新しい演算子は、Korovkin の定理を用いて、$[0,1]$ 上の連続関数への一様収束が示され、連続性のモジュラスとモーメント推定を用いた直接近似定理が確立されている。

ABSTRACT

In this paper, we have given a corrigendum to our paper "Some Approximation Results by $(p,q)$-analogue of Bernstein-Stancu Operators" published in Applied Mathematics and Computation $264 (2015) 392-402.$ We introduce a new analogue of Bernstein-Stancu operators and we call it as $(p,q)$-Bernstein-Stancu operators. We study approximation properties based on Korovkin's type approximation theorem of $(p,q)$-Bernstein-Stancu operators. We also establish some direct theorems.

研究の動機と目的

• 元の $(p,q)$-Bernstein-Stancu 演算子が $[0,1)$ 上で定数関数を保存しなかったという欠陥を是正するため、スケーリング係数 $p^{-n(n-1)/2}$ を用いた正規化形を導入する。
• $q$-Bernstein および古典的 Bernstein-Stancu 演算子の両方を一般化する、新しい正の線形演算子のクラス、$(p,q)$-Bernstein-Stancu 演算子を確立する。
• 適切な $p_n \to 1$, $q_n \to 1$, $p_n^n \to 1$, $q_n^n \to 1$ の条件下で、$[0,1]$ 上の連続関数への演算子の一致収束を証明する。
• 連続性のモジュラスと2次モーメント推定を用いて、直接近似定理を導出する。
• 改善された収束特性と線形関数の保存性を備えた、$(p,q)$-微積分設定への近似理論フレームワークの拡張を実現する。

提案手法

• 見直された演算子形式を導入：$S_{n,p,q}(f;x) = \frac{1}{p^{n(n-1)/2}} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}_{p,q} p^{k(k-1)/2} x^k \prod_{s=0}^{n-k-1}(p^s - q^s x) f\left(\frac{p^{n-k}[k]_{p,q} + \alpha}{[n]_{p,q} + \beta}\right)$。
• $p \neq q$ の場合、$(p,q)$-整数を $[n]_{p,q} = \frac{p^n - q^n}{p - q}$ で定義し、$p = q$ および $p = 1$ の特別な場合を含める。
• 組合せ的恒等式と $p,q$-微積分の性質を用いて、$S_{n,p,q}(1;x)$, $S_{n,p,q}(t;x)$, $S_{n,p,q}(t^2;x)$ のモーメント恒等式を証明する。
• 線形性とモーメント展開を用いて、2次モーメント $S_{n,p,q}((t-x)^2;x)$ を導出し、$q[n]_{p,q}[n-1]_{p,q}$, $[n]_{p,q}$, $p^{n-1}$ に依存することを示す。
• Korovkin のタイプの近似定理を適用し、$n \to \infty$ の下で $p_n, q_n \to 1$ の条件下で、テスト関数 $1, t, t^2$ における演算子の収束を検証する。
• 連続性のモジュラス $\omega(f;\delta)$ を用いて直接近似結果を確立し、収束速度が $\delta_n = \sqrt{S_{n,p,q}((t-x)^2;x)}$ に依存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(p,q)$-Bernstein-Stancu 演算子をどのように見直すれば、$[0,1]$ 上で定数関数 $f(x) = 1$ を正確に保存できるか？
• RQ2 列 $p_n$ と $q_n$ にどのような条件を課すと、$[0,1]$ 上の連続関数への演算子の一致収束が保証されるか？
• RQ3 見直された $(p,q)$-Bernstein-Stancu 演算子の明示的モーメント推定、特に $S_{n,p,q}(t;x)$ と $S_{n,p,q}(t^2;x)$ の推定値は何か？
• RQ4 収束速度と誤差境界の観点から、元の定式化に比べて、見直された演算子は近似精度をどのように向上させるか？
• RQ5 連続性のモジュラスに基づく直接近似定理は、新しい $(p,q)$-Bernstein-Stancu 演算子に対しても確立可能か？

主な発見

• 見直された $(p,q)$-Bernstein-Stancu 演算子は、すべての $x \in [0,1]$ に対して $S_{n,p,q}(1;x) = 1$ を満たし、元のバージョンにおける根本的な欠陥が是正された。
• $\alpha = \beta = 0$ の場合、新しい演算子は、先行研究で定義された $(p,q)$-Bernstein 演算子に還元され、既存の $(p,q)$-微積分フレームワークと整合性を保つ。
• 演算子 $S_{n,p,q}(t;x)$ は明示的に $\frac{[n]_{p,q}}{[n]_{p,q} + \beta}x + \frac{\alpha}{[n]_{p,q} + \beta}$ と与えられ、線形近似の性質を示す。
• 2次モーメントは $S_{n,p,q}(t^2;x) = \frac{q[n]_{p,q}[n-1]_{p,q}}{([n]_{p,q} + \beta)^2}x^2 + \frac{[n]_{p,q}(2\alpha + p^{n-1})}{([n]_{p,q} + \beta)^2}x + \frac{\alpha^2}{([n]_{p,q} + \beta)^2}$ であり、2次変動を捉えている。
• $\lim_{n\to\infty} p_n = 1$, $\lim_{n\to\infty} q_n = 1$, $\lim_{n\to\infty} p_n^n = 1$, $\lim_{n\to\infty} q_n^n = 1$ の条件下で、演算子は $[0,1]$ 上で $f$ に一様収束する。
• 2次モーメント $S_{n,p,q}((t-x)^2;x)$ は $n \to \infty$ の下で 0 に収束し、Korovkin の意味での収束が確認され、$[n]_{p,q}$, $p^{n-1}$, $\beta$ を含む明示的な誤差項が得られる。