[論文レビュー] Some aspects of free field resolutions in 2D CFT with application to the quantum Drinfeld-Sokolov reduction

Peter Bouwknegt, James G. McCarthy+1 more|ArXiv.org|Oct 2, 1991

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、非自明なアフィン Kac-Moody代数の可積分およびアドミッスィブ最高重層モジュールに対して自由場解体を構築し、それらを拡張して、量子ドリンフェルト＝ソコロフ還元を用いて W-代数における完全に退化した最高重層モジュールの解体を構成する。主な貢献は、構築された解体を用いて、これらの退化モジュールの特徴関数公式を導出することにある。

ABSTRACT

We review some aspects of the free field approach to two-dimensional conformal field theories. Specifically, we discuss the construction of free field resolutions for the integrable highest weight modules of untwisted affine Kac-Moody algebras, and extend the construction to a certain class of admissible highest weight modules. Using these, we construct resolutions of the completely degenerate highest weight modules of W-algebras by means of the quantum Drinfeld-Sokolov reduction. As a corollary we derive character formulae for these degenerate highest weight modules.

研究の動機と目的

• 非自明なアフィン Kac-Moody代数の可積分最高重層モジュールに対する自由場解体を構築すること。
• 自由場解体の構成をアドミッスィブ最高重層モジュールのクラスに拡張すること。
• これらの解体を W-代数における量子ドリンフェルト＝ソコロフ還元手順に適用すること。
• W-代数における完全に退化した最高重層モジュールの特徴関数公式を導出すること。

提案手法

• 自由ボソンおよびフェルミオンを用いて、非自明なアフィン Kac-Moody代数の可積分最高重層モジュールに対する自由場解体を構築する。
• 適切なスクリーニング作用素を介して、解体法をアドミッスィブ最高重層モジュールに拡張する。
• 自由場実現に量子ドリンフェルト＝ソコロフ還元を適用し、W-代数モジュールの解体を導出する。
• 得られた解体を用いて、自由場フォック空間上のトレース計算により特徴関数公式を計算する。
• 物理状態を還元理論における BRST コホホロジー枠組みを用いて同定する。
• 完全に退化モジュールの構造を活用して、特徴関数トレースの収束性と有限性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明なアフィン Kac-Moody代数の可積分最高重層モジュールに対して、自由場解体を体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 自由場解体はどのようにアドミッスィブ最高重層モジュールに拡張され、必要な代数的構造を保つのか？
• RQ3 量子ドリンフェルト＝ソコロフ還元は自由場実現にどのように作用し、W-代数モジュールの解体を生じさせるのか？
• RQ4 退化 W-代数モジュールのコホモロジー構造からどのような特徴関数公式が導かれるのか？
• RQ5 解体法を用いて、既知の conformal field theory の期待と整合する形で特徴関数を計算できるか？

主な発見

• 自由ボソンおよびフェルミオンを用いて、非自明なアフィン Kac-Moody代数の可積分最高重層モジュールに対する自由場解体が成功裏に構築された。
• 解体法はアドミッスィブ最高重層モジュールのクラスに拡張され、可積分の場合を越えて一般化された。
• 自由場実現に量子ドリンフェルト＝ソコロフ還元を適用することで、W-代数における完全に退化した最高重層モジュールの解体が得られた。
• これらの退化 W-代数モジュールの特徴関数公式は、解体とコホモロジー的トレース計算の直接的結果として導出された。
• この方法は、自由場技術を用いた W-代数における特徴関数計算の体系的フレームワークを提供する。
• 結果として、DRスキームを通じて自由場実現と W-代数の表現論の間の橋渡しが確立された。