[論文レビュー] Some Aspects of Modality in Analytical Mechanics

Jeremy Butterfield|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2002

History and Theory of Mathematics参考文献 18被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、解析力学におけるモーダル性に焦点を当て、ラグランジュ力学およびハミルトニアン力学の変分原理、およびハミルトン＝ヤコビ法が対象的仮説的推論を含む仕組みを検討する。これらフレームワークが可能な力学的進化を想起するが、特に単純な力学系において、実際の法則が実際の事実に根ざしているという原則に反しないことを示し、デイヴィッド・リースの仮説的推論理論と類似性を示す。

ABSTRACT

This paper discusses some of the modal involvements of analytical mechanics. I first review the elementary aspects of the Lagrangian, Hamiltonian and Hamilton-Jacobi approaches. I then discuss two modal involvements; both are related to David Lewis' work on modality, especially on counterfactuals. The first is the way Hamilton-Jacobi theory uses ensembles, i.e. sets of possible initial conditions. The structure of this set of ensembles remains to be explored by philosophers. The second is the way the Lagrangian and Hamiltonian approaches' variational principles state the law of motion by mentioning contralegal dynamical evolutions. This threatens to contravene the principle that any actual truth, in particular an actual law, is made true by actual facts. Though this threat can be avoided, at least for simple mechanical systems, it repays scrutiny; not least because it leads to some open questions.

研究の動機と目的

• 解析力学のモーダル的基盤を調査し、特に変分原理およびハミルトン＝ヤコビ理論が仮説的推論をどのように含むかを明らかにすること。
• 変分原理が非現実的な力学的進化を想起する場合、それが実際の真実が実際の事実に根ざしているという哲学的原則に反するかどうかを検討すること。
• ハミルトン＝ヤコビ理論における可能初期条件の集合の構造を分析し、デイヴィッド・リースのモーダルフレームワークと関連付けること。
• 変分原理がモーダル的コミットメントを有するにもかかわらず、それらがどのように形而上的に整合的と見なせるかの条件を明確化すること。
• これらのモーダル的関与が、古典力学の基礎および運動法則の性質に与える哲学的含意を強調すること。

提案手法

• 現代の微分幾何学を用いない、有限自由度系の基本的ラグランジュ、ハミルトニアン、およびハミルトン＝ヤコビ形式をレビューする。
• デイヴィッド・リースの仮説的論理を適用し、三つのモーダル関与の段階を区別する：初期／最終条件の変化、法則の変化、力の変化。
• ハミルトン＝ヤコビの $S$-関数が可能初期条件の構造的集合を表しており、リースの「世界の球」に類似した類似性を描く。
• ハミルトンの原理および他の変分原理が非現実的進化を全称的に含むことの哲学的正当性を評価する。
• ルジャンドル変換を用いて高階微分のラグランジュ系を正準方程式に変換し、変分原理が1階系に還元されることを示す。
• 単純力学系において、変分原理が実際の法則が実際の事実に根ざしているという原則に反しないことを示す。これは、それらのモーダル的コミットメントが制限され、整合的であることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ力学およびハミルトニアン力学における変分原理は、どのように仮説的力学的進化を含み、それらが実際の法則が実際の事実に根ざしているという原則を脅かすか？
• RQ2 ハミルトン＝ヤコビ $S$-関数のモーダル的意義は何か？ その初期条件の集合としての構造は、デイヴィッド・リースの可能な世界理論とどのように関係するか？
• RQ3 初期条件、力、法則を変化させるという、異なるモーダル関与の段階は、運動法則に与える哲学的含意においてどのように異なるか？
• RQ4 変分原理が非現実的力学的進化を全称的に含む場合、それらが形而上的に整合的と見なせるか。その整合性が保たれる条件は何か？
• RQ5 特にハミルトニアン力学の正準的構造、特に1つの生成関数 $H$ の役割が、変分的定式化を可能にし、モーダル的コミットメントをどのように制限するか？

主な発見

• ハミルトン＝ヤコビの $S$-関数は、可能初期条件の構造的集合を符号化しており、リースの「世界の球」に類似したモーダル的枠組みを形成する。
• ハミルトンの原理のような変分原理は、少なくとも単純力学系において、実際の真実が実際の事実に根ざしているという原則に反しない。これは、それらが考慮する非現実的進化が、実際の法則および作用関数の構造によって制限されているからである。
• 変分原理と正準方程式の対応関係は、1つの生成関数 $H$ の存在に依存しており、これによりすべての正準変数の時間微分が1つの関数から導かれる。このため、一貫性のあるモーダル的解釈が可能になる。
• 高階微分を持つ系では、ルジャンドル変換の手法により、変分問題が1階正準形式に還元され、モーダル的枠組みの整合性が保たれる。
• 解析力学におけるモーダル的関与は恣意的ではなく、作用の数学的形および正準方程式によって構造的に制限されており、意味的に考えられる仮説的推論の範囲が制限される。
• 本論文は、モーダル的推論が解析力学に深く根ざしているが、特に変分原理およびハミルトン＝ヤコビ理論における集合によって、それが単純系では数学的構造と物理法則の密接な結合のおかげで形而上的に正当化可能であると結論づける。