[論文レビュー] Some aspects of the global geometry of entire space-like submanifolds

Jürgen Jost, Yuanlong Xin|ArXiv.org|Oct 22, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、擬ユークリッド空間内の全空間的部分多様体に対して一般化されたベルンシュタインの定理を確立し、平行な平均曲率、ユークリッド位相で閉じており、ガウス写像が有界であるような任意の部分多様体が平面的であることを証明する。この結果により、カルアビ・ポゴレロフの定理の新たな証明が得られ、Monge-Ampère方程式の全凸解は二次多項式に限られることを、ガウス写像の幾何的解析と非コンパクトな対称空間における曲率推定を通じて示す。

ABSTRACT

We prove some Bernstein theorems for entire space-like submanifolds in pseudo-Euclidean spaces and, as a corollary, we obtain a new proof of the Calabi-Pogorelov theorem on global solutions of Monge-Ampere equations.

研究の動機と目的

• 擬ユークリッド空間内の全空間的部分多様体に対して、平行な平均曲率をもつグローバルベルンシュタイン型定理を確立すること。
• 最小部分多様体の文脈において、有界なガウス写像と完全性の幾何的意味を調査すること。
• 部分多様体幾何学を用いて、Monge-Ampère方程式の全凸解に関するカルアビ・ポゴレロフの定理の新たな証明を提供すること。
• 擬ユークリッド空間内のラグラングジャン最小部分多様体と、Calabi-Yau多様体内の特別ラグラングジャン部分多様体のモジュライ空間との関係を探索すること。
• 埋め込みが最小である場合、特別ラグラングジャン部分多様体のモジュライ空間のリッチ曲率が非負であることを示すこと。

提案手法

• 非コンパクト型の擬グラスマン多様体へのガウス写像を用い、非正曲率の完全なリーマン計量を有する。
• 第二基本形式にCheng-Yauの勾配推定法とLichnerowicz型曲率推定法を適用する。
• 擬ユークリッド空間（符号型n）内の空間的部分多様体における擬距離の勾配推定を導出する。
• 計量テンソル $ g_{ij} = \delta_{ij} - \sum_s f^s_{x^i} f^s_{x^j} $ を用いて、第二基本形式と平均曲率を誘導構造方程式を通じて分析する。
• 凸関数の勾配のグラフを通じて、Monge-Ampère方程式の解と最小ラグラングジャン部分多様体との間にリンクを確立する。
• ガウス方程式を用いて、McLean計量の下で、モジュライ空間のリーマン曲率、リッチ曲率、スカラー曲率を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬ユークリッド空間内の全空間的部分多様体が必ず平面的であるための条件は何か？
• RQ2 ガウス写像の有界性とユークリッド位相における完全性が、平行な平均曲率をもつ空間的部分多様体の幾何にどのように制約を加えるか？
• RQ3 Monge-Ampère方程式の解との関係において、擬ユークリッド空間内の最小ラグラングジャン部分多様体が持つ幾何的意義は何か？
• RQ4 非コンパクトな対称空間（例：擬グラスマン多様体）における曲率推定は、ユークリッド空間の場合と比較して、ベルンシュタイン型定理をどのように改善するか？
• RQ5 特別ラグラングジャン部分多様体のモジュライ空間が、擬ユークリッド空間内に最小ラグラングジャン部分多様体として埋め込まれる場合、どのような曲率的性質を有するか？

主な発見

• 平行な平均曲率、ユークリッド位相で閉じており、ガウス写像が有界であるような、擬ユークリッド空間内の全空間的部分多様体は、必ず線形部分空間である。
• 平均曲率が0で部分多様体が完全である場合、第二基本形式のノルムの二乗は恒等的に0となり、平坦性を示す。
• カルアビ・ポゴレロフの定理に対する新たな証明が与えられる：Monge-Ampère方程式 $ \det(\partial^2 F / \partial x^i \partial x^j) = \text{const.} $ の全凸解は、二次多項式に限られる。
• 埋め込みが最小である場合、特別ラグラングジャン部分多様体のモジュライ空間のリッチ曲率は非負であることが、ガウス方程式から導かれた曲率式によって示される。
• モジュライ空間のリーマン曲率は、ポテンシャル関数 $ F $ の三階微分を用いて表現され、$ g^{st} \partial^3 F / \partial x^s \partial x^i \partial x^k $ および逆計量を含む成分を有する。
• モジュライ空間のスカラー曲率は $ R = -\frac{1}{4} g^{st} \frac{\partial \ln g}{\partial x^s} \frac{\partial \ln g}{\partial x^t} + \frac{1}{4} g^{st} g^{jl} g^{ik} \frac{\partial^3 F}{\partial x^s \partial x^i \partial x^l} \frac{\partial^3 F}{\partial x^t \partial x^j \partial x^k} $ で与えられ、モジュライ空間の内在的幾何を反映している。