[論文レビュー] Some asymptotic properties of the Rees powers of a module

Ana L. Branco Correia, Santiago Zarzuela|ArXiv.org|Aug 25, 2004

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、局所環上の自由加群の部分加群のRees冪の漸近的性質を確立し、Burchの不等式をイデアルから加群へ拡張する。部分加群 $ E \subset G \simeq R^e $ の解析的スプレッドは、$ \ell_G(E) \leq d + e - 1 - \inf_{n \geq 1} \operatorname{depth}(G_n / E_n) $ を満たし、$ R $ およびRees代数がCohen-Macaulayである場合に等号が成り立つ。この結果は、完全交差加群のCowsik-Noriの基準を拡張するために応用される。

ABSTRACT

Let R be a commutative ring and let G be a free R-module with positive rank e. For any R-submodule E of G we may consider the image of the symmetric algebra of E by the natural map to the symmetric algebra of G, and then the graded components E_n of the image, that we call the n-th Rees powers of E. In this work we prove some asymptotic properties of the modules E_n, which extend well known similar ones for the case of ideals, among them Burch's inequality for the analytic spread.

研究の動機と目的

• 元々イデアルに対してのみ成り立つBurchの不等式を、自由加群の部分加群の文脈へ一般化すること。
• 部分加群 $ E \subset G $ のRees冪 $ E_n $ に対して、商 $ G_n / E_n $ の深さの漸近的挙動を調べること。
• 完全交差イデアルのためのCowsik-Noriの基準を、イデアルモジュールの状況へ拡張すること。
• 部分加群のRees代数がCohen-Macaulayであるための条件を確立すること、特に深さおよび解析的スプレッドとの関係を含む。

提案手法

• 自然な写像による $ \mathcal{S}_R(G) $ への写像を通して、$ E $ の対称代数の像としてRees代数 $ \mathcal{R}_G(E) $ を定義し、その各次数成分を $ E_n $ とする。
• KatzおよびNaudeが確立した、十分大きな $ n $ における $ G_n / E_n $ の付随素イデアルの安定性を用いて、深さの安定性を分析する。
• Brodmannの深さ安定化の方法を応用し、イデアルから加群へ深さ安定性の結果を拡張する。
• ファイバー代数 $ \mathcal{F}_G(E) = \mathcal{R}_G(E)/\mathfrak{m}\mathcal{R}_G(E) $ を分析し、その次元と $ G_n / E_n $ の深さの下限との関係を特定することで、Burchの不等式を加群に対して証明する。
• 還元およびFittingイデアルの理論を用いて、イデアルモジュールの「ずれ」と「解析的ずれ」を定義する。
• この結果を応用し、Cohen-Macaulayな局所環において、イデアルモジュール $ E $ が完全交差であるための必要十分条件として、$ G_n / E_n $ が無限個の $ n $ に対してCohen-Macaulayであること、を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Burchの不等式は、イデアルに限らず、自由加群の部分加群に対しても、解析的スプレッドおよび商加群の深さの観点から拡張可能か？
• RQ2 部分加群 $ E \subset G $ に対して、Rees冪 $ G_n / E_n $ の深さはどのように漸近的に振る舞い、十分大きな $ n $ で安定値をとるか？
• RQ3 完全交差イデアルのためのCowsik-Noriの基準を、イデアルモジュールの状況に一般化可能か？
• RQ4 Rees代数 $ \mathcal{R}_G(E) $ がCohen-Macaulayであるための条件は何か？また、これは $ G_n / E_n $ の深さとどのように関係するか？
• RQ5 イデアルモジュールの解析的ずれと、そのRees冪の深さとの関係は何か？

主な発見

• 部分加群 $ E \subset G \simeq R^e $ の解析的スプレッド $ \ell_G(E) $ は、$ \ell_G(E) \leq d + e - 1 - \inf_{n \geq 1} \operatorname{depth}(G_n / E_n) $ を満たし、Burchの不等式が加群へ拡張される。
• 両方の環 $ R $ および $ \mathcal{R}_G(E) $ がCohen-Macaulayである場合、不等式で等号が成り立つ。
• $ G_n / E_n $ の深さは十分大きな $ n $ で安定し、$ G_n / E_n $ の付随素イデアルの集合についても同様に安定する。
• イデアルモジュール $ E $ は、無限個の $ n $ に対して $ \operatorname{depth}(G_n / E_n) = d - \operatorname{ht}F_e(E) $ を満たすとき、等倍加群である。
• Cohen-Macaulayな局所環において、イデアルモジュール $ E $ が完全交差であるための必要十分条件は、$ E $ が一般に完全交差であると仮定すると、$ G_n / E_n $ が無限個の $ n $ に対してCohen-Macaulayであることである。
• 一般に完全交差であると仮定した下で、完全交差加群の基準は、すべての $ n > 0 $ に対して、または無限個の $ n $ に対して $ G_n / E_n $ がCohen-Macaulayであることと同値である。