[論文レビュー] Some basic properties of block operator matrices

Guohai Jin, Alatancang Chen|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間における非有界な項をもつ2×2ブロック作用素行列の乗法および随伴作用素の解析のための一般枠組みを確立する。自己随伴性の基準は、含まれる作用素の相対有界性およびスペクトル的性質に基づいて導出され、微分作用素や数理物理学の応用分野におけるスペクトル解析の統一的アプローチを提供する。

ABSTRACT

General approach to the multiplication or adjoint operation of $2 imes 2$ block operator matrices with unbounded entries are founded. Furthermore, criteria for self-adjointness of block operator matrices based on their entry operators are established.

研究の動機と目的

• 非有界な項をもつ2×2ブロック作用素行列の乗法および随伴作用素を扱う一般枠組みの構築を目的とする。
• 特に有界作用素の技法が失敗する場合に、このような行列のスペクトル解析において統一的アプローチが欠如している問題に対処すること。
• 個々の項の性質に基づいて、ブロック作用素行列の自己随伴性の十分条件を確立すること。
• 微分作用素や物理的系の文脈において、非有界作用素を含む場合に、既存の自己随伴性に関する結果を拡張すること。
• 作用素行列積および随伴作用素の体系的取り扱いを提供し、形式的な行列演算が実際の作用素合成と一致する条件を明確にすること。

提案手法

• 個々の項の合成の和を用いて定義される形式的積演算を導入する：$\mathcal{A} \times \mathcal{B} = \left(\sum_{k=1}^2 A_{jk}B_{kl}\right)$。
• 形式的積 $\mathcal{A} \times \mathcal{B}$ が実際の合成 $\mathcal{A}\mathcal{B}$ と一致するための同値条件を、射影 $P_1, P_2$ および埋め込み $J_1, J_2$ を用いた定義域の整合性に基づいて確立する。
• 閉グラフ定理および相対有界性の概念を用いて、特に $C(|A|+I)^{-1/2}$ および $B(|A|+I)^{-1/2}$ のようなリゾルベント型作用素の有界性を分析する。
• 閉グラフ定理を用いて、特定のリゾルベント合成が有界であることを示し、摂動技法の適用を可能にする。
• 非有界作用素の随伴計算を用い、適切な定義域および閉性の仮定の下で恒等式 $(ST)^* = T^*S^*$ を適用する。
• 閉作用素の摂動理論、特に補題 A.3 を用いて、相対有界定数が1未塔の $T$-有界作用素の和の閉性および随伴恒等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのブロック作用素行列の形式的行列積 $\mathcal{A} \times \mathcal{B}$ が実際の合成 $\mathcal{A}\mathcal{B}$ と一致する条件は何か？
• RQ2 非有界な項をもつ2×2ブロック作用素行列が自己随伴であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 ブロック作用素行列の随伴は、その個々の項の随伴を用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ4 非対角項が対角項に対して相対有界である場合、それが全行列の自己随伴性を保証する条件は何か？
• RQ5 リゾルベントの存在やリゾルベント合成の有界性といったスペクトル的性質が、行列の自己随伴性に与える影響は何か？

主な発見

• 形式的積 $\mathcal{A} \times \mathcal{B}$ が実際の合成 $\mathcal{A}\mathcal{B（$\mathcal{A}\mathcal{B}$ が行列表現をもつこと、すなわち $\mathcal{A}\mathcal{B}$ の定義域が射影 $P_1, P_2$ と整合する積空間であることに等しい。
• もし $C(|A|+I)^{-1/2}$ が有界であれば、$C(A-\lambda)^{-1}B$ は $\mathcal{D}(B)$ 上で有界であり、これは摂動技法による自己随伴性の検証に不可欠である。
• $\mathcal{D}(B) \cap \mathcal{D}(D)$ が $\overline{D}$ のコアであるという仮定の下で、$D - C(A-\lambda)^{-1}B$ の随伴は $\overline{D - C(A-\overline{\lambda})^{-1}B}$ に等しくなる。これは随伴の整合性を保証する。
• $\mathcal{A}$ が自己随伴であるための十分条件として、$B$ が閉作用素で空でないリゾルベント集合をもち、定義域条件 $\mathcal{D}(\mathcal{A}) = \mathcal{D}(B^*) \times \mathcal{D}(B)$ が成り立ち、かつある $\lambda \in \rho(B)$ に対してリゾルベント恒等式 $ (B - A(B^* - \overline{\lambda})^{-1}D)^* = B^* - D(B - \lambda)^{-1}A $ が成り立つことが挙げられる。
• $H_1 = H_2$ かつ $C = B^*$ の場合、$A$ が $B^*$-有界で相対有界定数 $<1$ であり、$D$ が $B$-有界で相対有界定数 $\leq 1$ であるか、逆に $B$-有界で相対有界定数 $<1$ で $D$ が $B^*$-有界で相対有界定数 $\leq 1$ である場合、$\mathcal{A}$ は自己随伴である。
• $B$ または $-B$ が最大累積的である場合、同じ相対有界性条件のもとで $\mathcal{A}$ は自己随伴である。これは最大累積的作用素への結果の拡張を示している。