[論文レビュー] Some Bounds for ramification of $p^n$-torsion semi-stable representations

Xavier Caruso, Tong Liu|ArXiv.org|May 27, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$p$-進体上の$p^n$- torsion半安定ガロア表現の上位分岐フィルトレーションに対する有効な上限を確立する。Kisinモジュールと torsion $(\varphi,\hat{G})$-モジュールを用いて、$\mu > \frac{ernp^n}{p-1}$ のとき $G_K^{(\mu)}$ がこのような表現に自明に作用することを証明する。$n$、$e$、およびホッジ＝トーレント重み $r$ に明示的な依存関係を示す。この結果は、Fontaine-Laffaille や Breuil の境界を、torsion 係数を伴う半安定設定に一般化する。

ABSTRACT

Let p be an odd prime, K a finite extension of Q_p, G=Gal(\bar K/K) the Galois group and e=e(K/Q_p) the ramification index. Suppose T is a p^n torsion representation such that T is isomorphic to a quotient of two G-stable Z_p-lattices in a semi-stable representation with Hodge-Tate weights in {0,...,r}. We prove that there exists a constant μexplicitly depending on n, e and r such that the upper numbering ramification group G^{(μ)} acts on T trivially.

研究の動機と目的

• Fontaine-Laffaille や Breuil の分岐境界を、$\{0,\dots,r\}$ 内のホッジ＝トーレント重みをもつ $p^n$-torsion 半安定表現へ拡張すること。
• このような表現の上位数え上げ分岐フィルトレーションに対する明示的な上限を提供すること。
• 晶質の場合の境界を、torsion 係数を伴う半安定の場合に一般化すること。
• 分岐境界が $n$、$e$、および $r$ にどのように依存するかを調査すること、特に $r$ に対する対数的依存性に注目すること。
• $r/(p-1)$ の $p$-進付値に基づいて、改善された境界を予想すること。

提案手法

• Kisin モジュールを用いて、$p^n$-torsion 表現の $G_{\infty} = \operatorname{Gal}(\bar{K}/K_\infty)$ への制限を記述する。
• $\hat{T}$-構成法と $\hat{J}_{n,c}$-モジュールを介して、torsion Kisin モジュールから $G_s$-表現への関手を構成する。
• $(\varphi,\hat{G})$-モジュールの理論を適用し、$T$ 上のガロア作用と Kisin モジュール $\mathfrak{M}$ の構造との関係を関係づける。
• $\hat{J}_{n,c}(\hat{\mathfrak{M}})$ と $J_{n,c}(\mathfrak{M})$ の比較同型を用いて分岐を制御する。
• フィルトレートド $(\varphi,N)$-モジュール上のフィルトレーションおよびモノドロミー作用素を用いて、関連するガロア表現の分岐を分析する。
• 適切なフィルトレートド $(\varphi,N)$-モジュールの理論を適用し、分岐境界の有限性および整合性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホッジ＝トーレント重みが $\{0,\dots,r\}$ 内にある $p^n$-torsion 半安定表現の上位分岐フィルトレーションに対する鋭い上限は何か？
• RQ2 分岐境界は、分岐指数 $e$、torsion 水準 $n$、およびホッジ＝トーレント重み $r$ にどのように依存するか？
• RQ3 Fontaine-Laffaille や Breuil の境界は、$p^n$-torsion 係数を伴う半安定の場合に拡張可能か？
• RQ4 境界が $r$ に対して対数的であるか、それとも線形的であるか（予想が示唆するように）？
• RQ5 $r/(p-1)$ の $p$-進付値を精緻化することで、$v_K(\mathcal{D}_{L/K})$ の境界を改善できるか？

主な発見

• $s > n + \log_p(nr/(p-1))$ のとき、すべての $\mu > \frac{ernp^n}{p-1}$ に対して、上位分岐群 $G_s^{(\mu)}$ は $T$ に自明に作用する。
• 境界 $\mu > \frac{ernp^n}{p-1}$ は有効的であり、$n$、$e$、および $r$ に明示的に依存する。
• 微分の境界は、$v_K(\mathcal{D}_{L/K}) < 1 + e(n + \alpha + \beta) - \frac{1}{p^{n+\alpha}}$ であり、ここで $\frac{nr}{p-1} = p^\alpha \beta$ で $\frac{1}{p} < \beta \leq 1$ である。
• $r$ に対する境界の依存性は対数的であり、これは以前の境界が $r$ に対して線形的であったことと対照的である。
• 本稿は、指数部において $\frac{nr}{p-1}$ を $\frac{r}{p-1}$ に置き換えることで境界を改善できると予想している。これは $r$ に対するより緊密な依存性を示唆する。
• 結果は、晶質の場合の既存の境界を、$p^n$-torsion 表現を伴う半安定の場合に拡張する。