[論文レビュー] Some Brouwerian Counterexamples Regarding Nominal Sets in Constructive Set Theory

Andrew Swan|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2017

Advanced Algebra and Logic参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、構成的集合論におけるブローウェル反例を提示し、名前付き集合理論における最小有限支援の存在——名前付き集合理論の基礎的仮定——が構成的には正当化できないことを示す。最小有限支援の仮定が、非構成的原則であるWLPOを含むことになり、構成的推論における名前付き集合の文脈では、このような仮定を避けるべきであることを示している。

ABSTRACT

The existence of least finite support is used throughout the subject of nominal sets. In this paper we give some Brouwerian counterexamples showing that constructively, least finite support does not always exist and in fact can be quite badly behaved. On this basis we reinforce the point that when working constructively with nominal sets the use of least finite support should be avoided. Moreover our examples suggest that this problem can't be fixed by requiring nominal sets to have least finite support by definition or by using the notion of subfinite instead of finite.

研究の動機と目的

• 構成的集合論における名前付き集合が常に最小有限支援を持つという仮定に挑戦すること。
• 最小有限支援の仮定が、WLPOのような非構成的原則を導くことの証明。
• 構成的数学における名前付き集合理論における最小有限支援の使用を避けるべきであるという主張。
• 最小有限支援の非構成的性質に起因する基礎的問題が、すなわち部分有限支援でも解決されないことを示すこと。
• 名前付き集合の構成が、非構成的結果を避けるために構成的枠組みにおいて再評価されなければならないという考えを強化すること。

提案手法

• 二進列 α と名前 a を用いて名前付き集合を構成し、∀n∈ℕ.α(n)=0 の真偽に結びつく支援性を持つ要素 αₐ を定義する。
• L = {x∈{a} | ¬(∀n∈ℕ)α(n)=0} を用いて、αₐ のすべての有限支援の共通部分を表し、L がすべての有限支援の共通部分に等しいことを示す。
• 二重否定の推論を用いて、L が有限かつ決定可能であれば、非構成的原則であるWLPOが導かれることを示す。
• 補題 3.4 を適用し、すべての有限支援の共通部分が支援であるならば、すべての有界論理式 ϕ に対して ¬¬ϕ→ϕ が成り立つことから、制限付き排中律（REM）が導かれる。
• 部分有限支援の挙動を分析し、部分有限性のもとでも同じ非構成的結果が生じることを示す。
• 実現可能性およびモデル理論的推論を用いて、WLPO が CZF で証明可能でないことを示し、最小有限支援の非構成的性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 名前付き集合理論における最小有限支援の存在は、構成的に正当化可能か？
• RQ2 すべての名前付き集合の要素が最小有限支援を持つと仮定することは、どのような論理的結果をもたらすか？
• RQ3 有限支援の代わりに部分有限支援を要求することで、最小有限支援に起因する非構成的問題は解決されるか？
• RQ4 最小有限支援の仮定が、WLPO や REM のような非構成的原則をどの程度まで含意するか？
• RQ5 ある要素のすべての有限支援の共通部分が支援であるとは限らないが、それが支援である場合、より強い非構成的原則を含意するか？

主な発見

• 名前付き集合の要素のすべての有限支援の共通部分が、必ずしも有限支援ではない。これは構成的にも成立しない。
• すべての有限支援の共通部分が常に支援であると仮定すれば、すべての有界論理式 ϕ に対して ¬¬ϕ→ϕ が成り立つ。これは制限付き排中律（REM）を意味する。
• すべての要素が最小有限支援を持つと仮定することは、CZF で証明できない非構成的原則であるWLPOを含意する。
• 部分有限支援に制限しても、同じ非構成的結果が生じるため、部分有限性は問題を解決しない。
• L = {x∈{a} | ¬(∀n∈ℕ)α(n)=0} は αₐ のすべての有限支援の共通部分に等しく、L が有限であれば WLPO が導かれる。
• 最小有限支援が構成的に存在しないことにより、構成的枠組みにおいて名前付き集合理論の基礎的仮定が損なわれる。