[論文レビュー] Some characterizations of almost limited sets and applications

Nabil Machrafi, Aziz Elbour+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 8被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、バナッハラティスにおけるほとんど有界集合を導入し、特徴づけるものであり、Chen らの先行研究を一般化する。wDP* の性質についての同値条件を確立し、単位球をほとんど有界集合へ写像する作用素、すなわちほとんど有界作用素を定義する。主な貢献は、σ-デデキンド完備でノルムが順序連続なバナッハラティスにおいて、すべてのほとんど有界作用素がコンパクトであり、かつ双対空間におけるラティス演算が弱*逐次連続であるための必要十分条件が、すべてのほとんど有界作用素が有界であることに帰着されることを示している。

ABSTRACT

Recently, J.X. Chen et al. introduced and studied the class of almost limited sets in Banach lattices. In this paper we establish some characterizations of almost limited sets in Banach lattices (resp. wDP* property of Banach lattices), that generalize some results obtained by J.X. Chen et al.. Also, we introduce and study the class of the almost limited operators, which maps the closed unit bull of a Banach space to an almost limited subset of a Banach lattice. Some results about the relationship between the class of almost limited operators and that of limited (resp. L- and M-weakly compact, resp. compact) operators are presented.

研究の動機と目的

• Chen らが確立したものより広い範囲のバナッハラティスにおけるほとんど有界集合の特徴づけを一般化すること。
• バナッハ空間の単位球をバナッハラティスのほとんど有界部分集合へ写像する作用素、すなわちほとんど有界作用素を定義し、それらを研究すること。
• ほとんど有界作用素と、有界作用素、L-弱コンパクト作用素、M-弱コンパクト作用素、コンパクト作用素などの他の作用素クラスとの関係を調査すること。
• 特にσ-デデキンド完備でノルムが順序連続なバナッハラティスにおいて、ほとんど有界作用素がコンパクトまたは有界であるための条件を確立すること。

提案手法

• バナッハラティスにおけるほとんど有界集合を、双対空間における任意の非交差弱*ノルム収束列が一様にゼロに収束する有界集合として定義する。
• 有界な順序集合およびそれらの有界またはほとんど有界集合による近似を用いて、順序区間を超える特徴づけを拡張する。
• 性質 (d) を適用する：E* の非交差弱*ノルム収束列 (fn) に対して、|fn| → 0 が E* で弱*収束する。
• T(BX) が E のほとんど有界部分集合であるような作用素をほとんど有界作用素と定義する。
• 収束の分析と矛盾の導出のため、随伴作用素 T* を用い、弱*逐次連続性の不成立を仮定する。
• ℓ¹ の構造と作用素の級数展開による表現を用いて、反例を構成し、同値性の結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハラティス E に対して、すべてのほとんど順序有界部分集合がほとんど有界であるための条件は何か？
• RQ2 任意のバナッハラティス間のほとんど有界作用素が必ず有界であるための条件は何か？
• RQ3 ほとんど有界作用素とコンパクト作用素、M-弱コンパクト作用素、L-弱コンパクト作用素との関係は何か？
• RQ4 E* におけるラティス演算の弱*逐次連続性は、ほとんど有界作用素の性質とどのように関係するか？
• RQ5 すべてのほとんど有界作用素がコンパクトであるようなバナッハラティスの特徴づけは何か？

主な発見

• バナッハラティス E が性質 (d) を持つことと、E のすべてのほとんど順序有界部分集合がほとんど有界であることは同値である。
• E* のラティス演算が弱*逐次連続であることと、E のすべてのほとんど順序有界部分集合が有界であることは同値である。
• σ-デデキンド完備でノルムが順序連続なバナッハラティスでは、すべてのほとんど有界作用素がコンパクトである。
• σ-デデキンド完備なバナッハラティス E に対して、E* のラティス演算が弱*逐次連続であることと、ℓ¹ から E へのすべてのほとんど有界作用素が有界であることは同値である。
• E* が弱*逐次連続なラティス演算を持つ、または F が性質 (d) を持つならば、順序有界な M-弱コンパクト作用素 T: E → F はほとんど有界である。
• 順序有界作用素 T: E → F がほとんど有界であることと、E+ のノルム有界な非交差列 (xn) と F* の非交差弱*ノルム収束列 (fn) に対して fn(T(xn)) → 0 となることは同値である。