[論文レビュー] Some classes of generating functions for generalized Hermite- and Chebyshev-type polynomials: Analysis of Euler's formula

Neslıhan Kilar, Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2019

Advanced Mathematical Identities参考文献 56被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、オイラーの公式を用いて一般化されたエルミート型およびチェビシェフ型多項式の新しい母関数を導入し、三角関数、指数型母関数、特殊多項式の間の関係を確立する。関数方程式および超幾何恒等式を活用することで、エルミート型、チェビシェフ、ディクソン、アポストル型多項式を結ぶ明示的公式、漸化式、および新規恒等式が導かれる。主な結果として、これらの多項式が複素指数関数的表現および三角関数的分解を通じて統一されることを示している。

ABSTRACT

The aim of this paper is to construct generating functions for new families of special polynomials including the Appel polynomials, the Hermite-Kamp\`e de F\`eriet polynomials, the Milne-Thomson type polynomials, parametric kinds of Apostol type numbers and polynomials. Using Euler's formula, relations among special functions, Hermite-type polynomials, the Chebyshev polynomials and the Dickson polynomials are given. Using generating functions and their functional equations, various formulas and identities are given. With help of computational formula for new families of special polynomials, some of their numerical values are given. Using hypegeometric series, trigonometric functions and the Euler's formula, some applications related to Hermite-type polynomials are presented. Finally, further remarks, observations and comments about generating functions for new families of special polynomials are given.

研究の動機と目的

• オイラーの公式を用いて、一般化されたエルミート型およびチェビシェフ型多項式の新しい母関数を開発すること。
• エルミート型多項式、チェビシェフ多項式、ディクソン多項式、三角関数の間の関数的関係を確立すること。
• アッペル、ミルン＝トーマス、アポストル型多項式を含む新しい特殊多項式族の明示的計算公式および漸化式を導出すること。
• 母関数の恒等式および複素指数関数的表現を通じて、さまざまな特殊多項式族を統一すること。
• 超幾何級数および三角関数展開を用いた数値的値と応用を提供すること。

提案手法

• 複素変数 w = x + iy を用いて、多変数母関数 G(t, w, u, r) = exp(wt + Σ u_j t^j) を定義する。
• オイラーの公式 exp(iyt) = cos(yt) + i sin(yt) を適用し、母関数を実部と虚部に分解する。
• 実部と虚部を分離することで、多項式 K(n; w, u, r) に対する明示的公式を P1(n, x, y, u, r) と P2(n, x, y, u, r) として導出する。
• y = √(1−x²) と代入することで、新しいエルミート型多項式と古典的チェビシェフ多項式との関係を確立する。
• 級数展開における関数方程式および係数比較を用いて、漸化式および微分恒等式を導出する。
• アポストル・ベルヌーイ、アポストル・オイラー、アッペル多項式の既知の母関数を基本ケースとして用い、統一された恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オイラーの公式を用いて、複素パラメータを有する一般化されたエルミート型多項式の母関数をどのように構成できるか？
• RQ2 複素指数関数的母関数を通じて、エルミート型、チェビシェフ、ディクソン多項式の間でどのような関数的・代数的恒等式が生じるか？
• RQ3 新しい母関数は、アッペル、ミルン＝トーマス、アポストル型多項式族をどのように統一するか？
• RQ4 新しいエルミート型多項式族が満たす漸化式または微分方程式は何か？
• RQ5 これらの新しい多項式族の明示的計算公式は、古典的直交多項式を用いてどのように表現できるか？

主な発見

• 母関数 G(t, w, u, r) = exp(wt + Σ u_j t^j) は、オイラーの公式を用いて実部と虚部に分解され、P1(n, x, y, u, r) および P2(n, x, y, u, r) という2つの新しい多項式族が得られる。
• 明示的公式が導出され、P1(n, x, y, u, r) = Σ (n choose j) H_j(u,r) C_{n-j}(x,y) および P2(n, x, y, u, r) = Σ (n choose j) H_j(u,r) S_{n-j}(x,y) と表され、エルミート型多項式と三角関数多項式が結ばれる。
• y = √(1−x²) と代入することで、P1 および P2 はチェビシェフ多項式を含む恒等式を導く：T_n(x) = Re[N_n(x, √(1−x²))] および U_{n−1}(x) = Im[N_n(x, √(1−x²)])/√(1−x²)。
• 新規恒等式が確立され、D_n(2x,1) = 2 Re[N_n(x, √(1−x²))] および E_{n−1}(2x,1) = Im[N_n(x, √(1−x²)]) / √(1−x²) が得られ、ディクソン多項式と三角関数多項式が結ばれる。
• 偏微分方程式が導出され、∂²/∂x∂y C_n(x,y) = -n(n−1)S_{n−2}(x,y) および ∂²/∂x∂y S_n(x,y) = n(n−1)C_{n−2}(x,y) が得られ、構造的対称性が明らかになる。
• 漸化式が証明され、C_{n+1}(x,y) = x C_n(x,y) - y S_n(x,y) および S_{n+1}(x,y) = x S_n(x,y) + y C_n(x,y) が得られ、y = √(1−x²) と代入すると、既知のチェビシェフ恒等式に帰着する。