[論文レビュー] Some Classical and Recent Results Concerning Renorming Theory

Amanollah Assadi, Hadi Haghshenas|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2009

Advanced Banach Space Theory参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間における幾何的性質および微分可能性を備えた同値ノルムに関する古典的および最近の結果を調査する。反射的性質、分離可能性、微分可能性に関するノルムの再定規格化による主要な特徴づけを確立し、バナッハ空間のさまざまな構造的仮定の下で、フレシェ、一様ゲートオー、厳密強凸ノルムの存在に関する未解決問題を提示する。

ABSTRACT

The problems connected with equivalent norms lie at the heart of Banach space theory. This is a short survey on some recent as well as classical results and open problems in renormings of Banach spaces.

研究の動機と目的

• 幾何的および微分可能性の性質が向上した同値ノルムに関する、基礎的および最近のノルム再定規格化理論の結果を調査すること。
• フレシェ、ゲートオー、一様ゲートオー微分可能性のノルムの性質と、反射的性質や分離可能性といった構造的性質との関係を明確にすること。
• バナッハ空間のさまざまな仮定の下で、特定の微分可能性または凸性の性質を持つ同値ノルムの存在に関する未解決問題を同定すること。
• ノルム再定規格化による、反射的空間、アスプルンド空間、弱コンパクト生成空間の既知の特徴づけの包括的概説を提供すること。
• 17個の未解決問題を提示することで、フレシェ、LUR、SSD、および厳密強凸ノルムの存在に関するさらなる研究を刺激すること。

提案手法

• S̆mulyanの双対定理を用いて、双対空間における汎函数の収束を介してノルムのフレシェ微分可能性を特徴づける。
• Bishop-Phelpsの定理を適用して、ノルムを達成する汎函数が双対空間においてノルム稠密であることを示し、微分可能性と分離可能性を結びつける。
• 基本的双直交系の概念を用いて、メトリック近似性質（MIP）などの望ましい性質を持つ同値ノルムを構成する。
• 2-回転性および弱2-回転性の概念を適用して、列のノルム収束を用いた反射的性質および分離可能性の特徴づけを行う。
• 拡張技術を用いて部分空間における同値ノルムを構成し、それが全体空間への拡張が可能かどうかを検討する。
• Radon-Nikodým性質、アスプルンド空間構造、弱コンパクト生成（WCG）空間の性質が、同値微分可能なノルムの存在に与える影響を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間がRadon-Nikodým性質を持つ場合、その空間は同値の弱-カデック＝クラリー（weak-Kadec-Klee）ノルム、厳密強凸ノルム、またはLURノルムをもつだろうか？
• RQ2 すべてのアスプルンド空間は同値の強力に部分微分可能な（SSD）ノルムをもつだろうか？
• RQ3 あるバナッハ空間がゲートオー微分可能なノルムとSSDノルムの両方をもつ場合、それは必然的にフレシェ微分可能なノルムをもつだろうか？
• RQ4 非分離的かつ非アスプルンド空間に対して、原点以外ではどこでもSSDでない同値ノルムが存在するだろうか？
• RQ5 分離可能なバナッハ空間のノルムが、すべての無限次元部分空間でフレシェ微分可能であるならば、その双対空間は必然的に分離的であろうか？

主な発見

• すべての分離可能なバナッハ空間は、S̆mulyanの定理と構成により、同値の一律ゲートオー微分可能なノルムをもつ。
• フレシェ微分可能なノルムをもつ分離可能なバナッハ空間の双対空間は分離的である。これはKadec-Restrepoの定理によって確立された。
• 双対ノルムがフレシェ微分可能であるならば、その空間は反射的である。これはS̆mulyanの特徴づけとJamesの定理から導かれる。
• 基本的双直交系をもつバナッハ空間は、LUR点の稠密な集合をもつ同値ノルムをもつ。これは、メトリック近似性質（MIP）を持つノルムの存在を示唆する。
• フレシェ微分可能なノルムをもつすべての分離可能なバナッハ空間は、空間およびその双対空間の両方がフレシェ微分可能なノルムをもつように再定規格化可能である。
• 分離可能な空間にゲートオー微分可能なノルムが存在するならば、ノルムを達成する汎函数の集合は双対空間においてノルム稠密であり、追加の条件下で双対空間の分離性が導かれる。