[論文レビュー] Some classifications of biharmonic hypersurfaces with constant scalar curvature

Shun Maeta, Ye‐Lin Ou|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、アインシュタイン多様体および空間形における定数スカラー曲率をもつ双調和超曲面を分類し、特定の曲率および可積分性条件（例えば、$ L^p $-有界な $ |\nabla H| $ やリッチ曲率の有界性）の下で、完全な双調和超曲面が最小または定数平均曲率をもつことを証明する。主要な結果は、特に球面や非正曲率のアインシュタイン空間において、Chen予想およびBalmuş-Montaldo-Oniciuc予想を支持する。

ABSTRACT

We give some classifications of biharmonic hypersurfaces with constant scalar curvature. These include biharmonic Einstein hypersurfaces in space forms, compact biharmonic hypersurfaces with constant scalar curvature in a sphere, and some complete biharmonic hypersurfaces of constant scalar curvature in space forms and in a non-positively curved Einstein space. Our results provide additional cases (Theorem 2.3 and Proposition 2.8) that supports the conjecture that a biharmonic submanifold in a sphere has constant mean curvature, and two more cases that support Chen's conjecture on biharmonic hypersurfaces (Corollaries 2.2,2.7).

研究の動機と目的

• アインシュタイン多様体および空間形における定数スカラー曲率をもつ双調和超曲面を分類すること。
• ユークリッド空間における双調和部分多様体が最小であるというChen予想をさらに裏付けること。
• 球面上の双調和部分多様体が定数平均曲率をもつというBalmuş-Montaldo-Oniciuc予想を支持すること。
• 完全な双調和超曲面が定数スカラー曲率をもつ場合に、最小または定数平均曲率をもつための条件を確立すること。
• 幾何解析および最大原理を用いて、非正曲率のアインシュタイン空間における双調和超曲面の結果を拡張すること。

提案手法

• 双調和エネルギー汎関数の臨界点条件から得られる、アインシュタイン多様体における超曲面の双調和方程式を用いる。
• ガウスおよびウェイングルテンの法則を適用し、超曲面と埋め込み空間の曲率不変量の関係を導出する。
• Bochner公式を $ |\nabla H|^2 $ に適用し、リッチ曲率の有界性と双調和方程式を組み合わせて微分不等式を導出する。
• 定理2.5の最大原理（ii）および（iii）を $ |\nabla H|^2 $ に適用し、$ L^p $ や曲率有界性の条件下でそれが定数であることを示す。
• ニュートンの不等式 $ |A|^2 \geq mH^2 $ を用いて $ |\nabla H|^2 $ のラプラシアンを推定し、曲率仮定の下で $ \Delta|\nabla H|^2 \geq \varepsilon|\nabla H|^2 $ を得る。
• 最初の双調和方程式 $ \Delta H - H(|A|^2 - \lambda) = 0 $ を用いて平均曲率関数 $ H $ の構造を解析し、$ |A|^2 = \lambda \leq 0 $ の場合に $ H = 0 $ であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正曲率のアインシュタイン多様体における完全な双調和超曲面が、定数スカラー曲率をもつ場合、どのような条件下で最小となるか？
• RQ2 球面 $ S^{m+1} $ における完全な双調和超曲面が定数スカラー曲率をもち、$ H^2 \geq \frac{2\varepsilon + 4}{m(5m + 4)} $ を満たす場合、条件（A）、（B）、または（C）の下で定数平均曲率をもつだろうか？
• RQ3 $ |\nabla H| $ の $ L^p $-可積分性またはリッチ曲率の有界性が、$ H $ の定数性または最小性を示唆するだろうか？
• RQ4 曲率の有界性とBochner公式が、双調和超曲面における平均曲率関数 $ H $ をどのように制約するか？
• RQ5 定数スカラー曲率の下で、これらの結果がChen予想およびBalmuş-Montaldo-Oniciuc予想をどの程度支持するか？

主な発見

• 非正曲率のアインシュタイン多様体における完全な双調和超曲面が定数スカラー曲率をもつ場合、$ |\nabla H| \in L^p $（$ 2 < p < \infty $）を満たす、または $ |\nabla H| \in L^2 $ かつリッチ曲率が $ -c(1 + r^2(x)) $ で下から有界であると仮定すれば、それは最小である。
• ある $ \varepsilon > 0 $ に対して $ H^2 \geq \frac{2\varepsilon + 4}{m(5m + 4)} $ が成り立つ場合、球面 $ S^{m+1} $ における完全な双調和超曲面は、条件（A）、（B）、または（C）の下で定数平均曲率をもつ。
• 系2.7はChen予想の部分的な場合を確認する：ユークリッド空間における完全な双調和超曲面が定数スカラー曲率をもち、$ |\nabla H| \in L^p $（$ 2 < p < \infty $）を満たすならば、それは最小である。
• 定理2.3はBalmuş-Montaldo-Oniciuc予想を支持する新たなケースを提供する。球面 $ S^{m+1} $ における定数スカラー曲率をもつ双調和超曲面で、十分に下から有界な $ H^2 $ をもつものは、定数平均曲率をもつ。
• 命題2.6は、非正曲率のアインシュタイン空間において、$ |\nabla H| $ が $ L^p $ または曲率に有界な場合、$ \lambda $ と $ |A|^2 = \lambda \leq 0 $ であることから $ |A|^2 = 0 $ であるため、このような超曲面は最小であることを確立する。
• 解析により、与えられた仮定の下で $ \Delta|\nabla H|^2 \geq \varepsilon|\nabla H|^2 $ が成り立ち、$ |\nabla H|^2 $ が定数であることが示され、最終的に双調和方程式により $ H $ が定数またはゼロであることが導かれる。