[論文レビュー] Some Closure Results for Polynomial Factorization and Applications.

Chi-Ning Chou, Mrinal Kumar+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、小サイズの深さ付き算術回路によって計算される低次の多項式の因数に対しても、同じく小サイズの深さ付き回路が存在することを確立し、低次のケースにおいてVPが因数分解に関して閉じていることを証明するとともに、VNPが因数に関して閉じていることを確認した。これにより、超多項式的下界を部分的に超多項式的決定的PITアルゴリズムに結びつけることで、多項式恒等式テストにおける新たなハードネス・ランダムネスのトレードオフが可能になった。

ABSTRACT

In a sequence of seminal results in the 80's, Kaltofen showed that the complexity class VP is closed under taking factors. A natural question in this context is to understand if other natural classes of multivariate polynomials, for instance, arithmetic formulas, algebraic branching programs, depth arithmetic circuits or the class VNP, are closed under taking factors. In this paper, we show that all factors of at most $\log^a n$ of polynomials with poly(n) size depth $k$ circuits have poly(n) size circuits of depth at most $O(k + a)$. This partially answers a question of Shpilka-Yehudayoff and has applications to hardness-randomness tradeoffs for depth arithmetic circuits. More precisely, this shows that a superpolynomial lower bound for depth arithmetic circuits, for a family of explicit polynomials of poly$(\log n)$ implies deterministic sub-exponential time algorithms for polynomial identity testing (PIT) for depth arithmetic circuits. This is incomparable to a beautiful result of Dvir et al., where they showed that super-polynomial lower bounds for constant depth arithmetic circuits for any explicit family of polynomials (of potentially high degree) implies sub-exponential time deterministic PIT for depth circuits of individual degree. Thus, we remove the bounded individual degree condition in [DSY09] at the cost of strengthening the hardness assumption to hold for polynomials of low degree. As direct applications of our techniques, we also show that the complexity class VNP is closed under taking factors, thereby confirming a conjecture of Burgisser and get an alternate proof of the fact (first shown by Dutta et al.) that if a polynomial $Q$ of at most $d$ divides a polynomial $P$ computable by a formula of size $s$, then $Q$ has a formula of size at most poly$(s, d^{\log d}, deg(P))$.

研究の動機と目的

• VNP や有界深さ付き回路といった複雑度クラスが、多項式の因数をとる操作に関して閉じているかどうかを調査すること。
• 低次の多項式に対する超多項式的下界が、深さ付き回路における多項式恒等式テスト（PIT）のための部分的超多項式的決定的アルゴリズムを示唆するかを特定すること。
• ブルギッサーが提起した、VNPが因数に関して閉じているという予想を解決すること。
• 公式によって計算可能な多項式の因数に関する公式サイズの境界を、別の証明法で再構築すること。

提案手法

• 小サイズの深さ付き回路と有界個々の次数を持つ多項式の因数の構造を分析する。
• 回路複雑度の技法を適用し、深さ-k 回路内の多項式の因数の深さとサイズを制限する。
• 帰納法と合成の議論を用いて、次数が log^a n 以下の因数が、小サイズの回路複雑度を継承することを示す。
• ハードネス・ランダムネスのトレードオフを通じて、回路下界とPITの決定的化との間の関係を確立する。
• 既知の公式サイズ境界の結果を活用し、公式によって計算可能な多項式の因数に関する新たな境界を導出する。
• 特にドヴィア・エーアルらの先行研究と比較し、個々の次数の有界性の仮定を外す代わりに、より強いハードネス仮定を必要とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブルギッサーが予想したように、複雑度クラスVNPは多項式の因数をとる操作に関して閉じているか？
• RQ2 低次の多項式に対する超多項式的下界が、深さ付き回路における部分的超多項式的決定的PITアルゴリズムを示唆するか？
• RQ3 小サイズの深さ付き回路によって計算可能な多項式の因数に対しても、小サイズの深さ付き回路表現が可能か？
• RQ4 因数のサイズと深さは、元の多項式の回路サイズと深さとどのように関係しているか？
• RQ5 多項式の因数に関する公式サイズ境界を、新しい回路複雑度技法を用いて再導出できるか？

主な発見

• 多項式のサイズが poly(n)、深さが k の回路で計算可能な多項式の、次数が log^a n 以下の因数は、サイズが poly(n)、深さが O(k + a) の回路で計算可能である。
• 複雑度クラスVNPは因数に関して閉じており、ブルギッサーの予想を確認した。
• 明示的な低次の多項式に対して深さ-k 回路で超多項式的下界が成立するならば、深さ-k 回路におけるPITの決定的部分的超多項式時間アルゴリズムが導かれる。
• 本論文は、公式によって計算可能な多項式の因数に関する公式サイズ境界の別証明を提供し、このような因数のサイズが poly(s, d^{log d}, deg(P)) 以下であることを示した。
• 先行研究を改善し、ハードネス・ランダムネスのトレードオフにおいて個々の次数の有界性条件を除外したが、代わりにより強いハードネス仮定を必要とした。
• 本研究の結果は、算術回路の文脈において、回路下界と決定的化との間の新たな関係を確立した。