[論文レビュー] Some Combinatorial Operators in Language Theory

Jean-Gabriel Luque, Ludovic Mignot+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2012

semigroups and automata theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、形式言語理論におけるマルチチルダ作用素の研究のためのオペラッド枠組みを導入し、それらの合成と言語への作用の代数的基盤を提供する。マルチチルダを自由オペラッドの要素としてモデル化することで、著者たちはブールベクトル、部分順序、組合せ構造との関係を確立し、同値でない作用素の列挙と、有限および正則言語の新しい作用素による表現を可能にする。

ABSTRACT

Multitildes are regular operators that were introduced by Caron et al. in order to increase the number of Glushkov automata. In this paper, we study the family of the multitilde operators from an algebraic point of view using the notion of operad. This leads to a combinatorial description of already known results as well as new results on compositions, actions and enumerations.

研究の動機と目的

• 正則表現理論で用いられるマルチチルダ作用素の代数的・オペラッド的特徴付けを提供すること。
• オペラッド理論を用いてマルチチルダ作用素の合成と言語への作用を形式化すること。
• 部分順序と関係を用いた組合せ的列挙により、同値でないマルチチルダ作用素の体系を確立すること。
• スターリング作用素を含めるための枠組みの拡張を行い、正則言語を文字タプル上の作用素の作用として表現すること。
• オペラッドを用いた形式言語理論の新しい組合せ的アプローチの基盤を築くこと。

提案手法

• マルチチルダ作用素を、部分合成作用素を用いてその代数的構造を符号化する自由オペラッドの要素としてモデル化する。
• マルチチルダの言語への作用を特性関数を介して記述するためのブールベクトルのオペラッドを導入する。
• 作用の同値性をモデル化するため、マルチチルダオペラッドから商オペラッドを構成する。
• 部分順序に基づくオペラッド（POSet）を定義し、マルチチルダ作用の同値性を形式化し、表現の一意性を保証する。
• 自由リストと接頭辞閉包の構造を用いて、マルチチルダがk個の言語タプルに作用する様子を分析する。
• オペラッドをスターリング作用素を含めるように拡張し、その作用をクレーニー星と定義し、恒等式 $\star \circ \star \equiv \star$ で商をとる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてオペラッド理論を用いてマルチチルダ作用素の合成を代数的に形式化できるか？
• RQ2 マルチチルダ作用素の言語への作用とは何か？ そして、ブールベクトルを介してどのように符号化できるか？
• RQ3 2つのマルチチルダ作用素がどのように同値とみなされるか？ その同値性を捉える組合せ的構造は何か？
• RQ4 同値でないマルチチルダ作用素の数を列挙できるか？ その背後にある組合せ論的構造は何か？
• RQ5 正則言語を、拡張されたマルチチルダ作用素が文字タプルに作用する形で表現できるか？

主な発見

• マルチチルダ作用素は自由オペラッドをなしており、その合成と代数的性質の体系的解析が可能になる。
• マルチチルダが言語に作用する様子は、ブールベクトルオペラッドの作用と同型であり、線形代数的解釈が可能になる。
• 部分順序に基づくオペラッド POSet≤ は、マルチチルダ作用の完全かつ最適な表現を提供し、すべての同値でない作用素を区別する。
• 2つのマルチチルダがすべてのk個の言語タプルに同じ作用をするための必要十分条件は、POSet≤ 構造における同値性である。
• k個の言語に対する同値でないマルチチルダ作用素の数は、POSet≤ 内の異なる部分順序の数に等しく、完全な列挙が可能になる。
• すべての正則言語は、商オペラッド $T^\star$ の要素がk個の文字タプルに作用する形で表現可能であり、スターリング作用素は $\star \circ \star \equiv \star$ を満たす。