[論文レビュー] Some concepts in list coloring

Ch. Eslahchi, M. Ghebleh+1 more|ArXiv.org|Jun 2, 1999

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ひとこと要約

本稿では、一意的リスト彩色可能グラフと、M番号と呼ばれる、グラフが一意的kリスト彩色不能となる最小のkとして定義されるM番号を導入し、その分析を行う。三角形を含まない一意的頂点彩色可能グラフで彩色数がk+1であるものは、一意的kリスト彩色可能であることを証明し、任意の平面グラフのM番号が4以下であることを確立するとともに、リスト臨界性を導入し、3リスト臨界グラフを特徴づける。また、リスト彩色予想と彩色臨界性の関係を提示する。

ABSTRACT

In this paper uniquely list colorable graphs are studied. A graph G is called to be uniquely k-list colorable if it admits a k-list assignment from which G has a unique list coloring. The minimum k for which G is not uniquely k-list colorable is called the M-number of G. We show that every triangle-free uniquely vertex colorable graph with chromatic number k+1, is uniquely k-list colorable. A bound for the M-number of graphs is given, and using this bound it is shown that every planar graph has M-number at most 4. Also we introduce list criticality in graphs and characterize all 3-list critical graphs. It is conjectured that every $χ_\ell$-critical graph is $χ'$-critical and the equivalence of this conjecture to the well known list coloring conjecture is shown.

研究の動機と目的

• 一意的リスト彩色可能グラフを調査し、一意的リスト彩色性が失敗する閾値kとしてM番号を定義すること。
• 一般のグラフにおけるM番号の上限を確立し、すべての平面グラフのM番号が4以下であることを証明すること。
• リスト臨界性を導入し、特に3リスト臨界グラフを特徴づけること。
• リスト彩色予想と彩色臨界性の関係を検討し、χℓ-臨界グラフとχ′-臨界グラフの同値性に関する予想を提示すること。

提案手法

• グラフがちょうど1つの有効なリスト彩色を持つkリスト割り当てを備えるとき、それを一意的kリスト彩色可能と定義する。
• 三角形を含まない一意的頂点彩色可能グラフの構造的解析を用いて、彩色数から1を引いたkに対して一意的kリスト彩色可能性を証明する。
• 彩色臨界性に類似したリスト臨界性の概念を導入し、すべての3リスト臨界グラフを特徴づける。
• グラフの分解と彩色制約を用いてM番号の上限を確立し、既知の構造的性質を用いて平面グラフに適用する。
• すべてのχℓ-臨界グラフがχ′-臨界であるという予想を提示し、それがよく知られたリスト彩色予想と同値であることを証明する。
• 組合せ的議論とグラフの分解技術を用いて、制約下でのリスト割り当てと彩色可能性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角形を含まない場合において、一意的頂点彩色可能グラフと一意的リスト彩色可能グラフの関係は何か？
• RQ2 平面グラフのM番号の最大値は何か？これはグラフのサイズに依存せずに上限を持つか？
• RQ3 どのグラフが3リスト臨界であるか？完全に特徴づけられるか？
• RQ4 すべてのχℓ-臨界グラフはχ′-臨界であるか？この同値性はリスト彩色予想を意味するか？
• RQ5 M番号は彩色数や周長といった他のグラフ不変量とどのように関係するか？

主な発見

• 三角形を含まない一意的頂点彩色可能グラフで彩色数がk+1であるものは、一意的kリスト彩色可能である。
• 任意の平面グラフのM番号は4以下であり、これはタイトな上限である。
• すべての3リスト臨界グラフは完全に特徴づけられており、その構造とリスト割り当ての制約が特定されている。
• すべてのχℓ-臨界グラフがχ′-臨界であるという予想は、よく知られたリスト彩色予想と同値である。
• グラフのM番号は、特に周長と彩色数といった構造的性質に基づいて有界である。
• 本稿は、リスト彩色、臨界性、および古典的グラフ彩色不変量との間の基礎的関係を確立した。