[論文レビュー] Some congruences for trinomial coefficients

Hui-Qin Cao, Hao Pan|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、既知の二項係数の結果を拡張し、素数のべきを法とする三項係数に関する新しい合同式を確立する。母関数、再帰的関係式、およびリーマン記号の性質を用いて、$ p $ および $ p^2 $ を法とする三項係数の和が $ p \mod 3 $ に依存する周期的性質を示し、Catalanに類似する項を含む交代和および正規化された和に対して明示的な公式を導出する。

ABSTRACT

We prove several congruences for trinomial coefficients.

研究の動機と目的

• 既知の二項係数の合同式を、素数のべきを法とする三項係数へ拡張すること。
• 奇数および偶数の $ d $ に応じて、$ \sum_{k=0}^{p-1} \binom{k}{d}_2 \mod p $ および $ \mod p^2 $ の明示的公式を導出すること。
• 特に小さな $ d $ に対して、交代和 $ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k \binom{k}{d}_2 \mod p^2 $ を明示的に評価すること。
• Sunによる予想 $ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{T_k}{3^k} \mod p^2 $ を証明すること。ここで $ T_k $ は中央三項係数である。
• 母関数と組み合わせ的恒等式を用いて、三項係数の和を再帰的数列およびリーマン記号の条件に関連付けること。

提案手法

• 母関数 $ (1+x+x^{-1})^n = \sum_{k=-n}^n \binom{n}{k}_2 x^k $ を用いて、三項係数の部分和を表現する。
• 恒等式 $ \sum_{k=0}^{n-1} \binom{k}{d}_2 = \sum_{\substack{k=1 \\ k+d \equiv 1 \mod 2}}^n \binom{n}{k} \binom{k-1}{(k+d-1)/2} $ を用いて、和の評価を二項係数の恒等式に還元する。
• 既知の $ p $ を法とする合同式、例えば $ \binom{p}{k} \equiv 0 \mod p $ および $ \binom{p-1}{k} \equiv (-1)^k \mod p $ を用いて、和を簡略化する。
• 再帰的数列 $ \mathcal{S}_n $ を $ \mathcal{S}_0 = 0, \mathcal{S}_1 = 1, \mathcal{S}_{n+1} = 4\mathcal{S}_n - \mathcal{S}_{n-1} $ で定義し、$ p $ を法とする和を表現する。
• 母関数の操作 $ \sum_{k=0}^{p-1} \left( \frac{1+x+x^{-1}}{3} \right)^k = \frac{(1+x+x^{-1})^p / 3^p - 1}{(1+x+x^{-1})/3 - 1} $ を用いて、$ \sum T_k / 3^k \mod p^2 $ を評価する。
• $ p^2 $ を法とする二項係数の展開を適用し、$ \binom{p}{k} \equiv (-1)^k p / k \mod p^2 $ および $ \binom{2p-3k}{p-1-3k} \equiv -3k \mod p $ などの関係を用いて係数を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数および偶数の $ d $ に対して、$ \sum_{k=0}^{p-1} \binom{k}{d}_2 \mod p $ はどのように振る舞い、閉形式で表せるか？
• RQ2 奇数の $ d $ に対して、$ \frac{1}{p} \sum_{k=0}^{p-1} \binom{k}{d}_2 \mod p $ の構造は何か？また、調和級数に類似した和およびリーマン記号とどのように関係するか？
• RQ3 特に小さな $ d $ に対して、交代和 $ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k \binom{k}{d}_2 \mod p^2 $ を明示的に評価できるか？
• RQ4 $ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{T_k}{3^k} \mod p^2 $ の値は何か？また、Sunの予想に従い、$ p \mod 3 $ に依存するか？
• RQ5 再帰的数列 $ \mathcal{S}_n $ やチェビシェフに類似した多項式 $ v_n(x) $ は、三項係数の和に関する合同式の証明にどのように役立つか？

主な発見

• 奇数の $ d $ に対して、$ \frac{1}{p} \sum_{k=0}^{p-1} \binom{k}{d}_2 \equiv \frac{(-1)^{(d+1)/2}}{2} \left( \sum_{k=1}^{(d-1)/2} \frac{(-1)^k}{k} - 3 \sum_{\substack{1 \leq k \leq (d-1)/2 \\ 3 \mid k+p}} \frac{(-1)^k}{k} \right) \mod p $。
• 偶数の $ d $ に対して、$ \frac{1}{p} \left( (-1)^{d/2} \sum_{k=0}^{p-1} \binom{k}{d}_2 - (-1)^{(p-1)/2} \right) \equiv -3 \left( \frac{-2}{p} \right) \frac{\mathcal{S}_{(p - \genfrac{(}{)}{}{}{3}{p})/2}}{p} - 2 \sum_{0 \leq j < d/2} \frac{(-1)^j}{2j+1} + 3 \sum_{\substack{0 \leq j < d/2 \\ 3 \nmid p - 2j - 1}} \frac{(-1)^j}{2j+1} \mod p $。
• $ d = 0 $ の場合、$ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k \binom{k}{0}_2 \equiv p \cdot \frac{3 \genfrac{(}{)}{}{}{p}{3} - 1}{2} \mod p^2 $。
• $ d = 1 $ の場合、$ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k \binom{k}{1}_2 \equiv 1 - p \cdot \frac{3 \genfrac{(}{)}{}{}{p}{3} - 1}{2} \mod p^2 $。
• $ d = 2 $ の場合、$ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k \binom{k}{2}_2 \equiv -2 + 3p \genfrac{(}{)}{}{}{p}{3} \mod p^2 $。
• $ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{T_k}{3^k} $ に対しては、$ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{T_k}{3^k} \equiv \begin{cases} p \mod p^2 & \text{if } p \equiv 1 \mod 3, \\ 0 \mod p^2 & \text{if } p \equiv 2 \mod 3. \end{cases} $