[論文レビュー] Some consequences of a recursive number-theoretic relation that is not the standard interpretation of any of its formal representations

Bhupinder Singh Anand|ArXiv.org|Oct 5, 2002

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ゲーデルの形式的体系Pにおいて標準的解釈を持たない再帰的数論的関係を調査し、このような関係が標準的公理的集合論における数学的対象として一貫して形式化できないことを示している。主な貢献は、古典的整合性、表現可能性、計算可能性の概念が構成的再定式化を必要とすることを示し、古典的チューリング計算可能性を超える有効に計算可能な関数を許容する、見直されたチューリングの Thesis を得ることにある。

ABSTRACT

We give a precise definition of a formal mathematical object as any symbol for an individual constant, predicate letter, or a function letter that can be introduced through definition into a formal mathematical language without inviting inconsistency. We then show: there is an elementary, recursive, number-theoretic relation that is not a formal mathematical object, since it is not the standard interpretation of any of its representations in Goedel's formal system P; the range of a recursive number-theoretic function does not always define a (recursively enumerable set) formal mathematical object consistently in any Axiomatic Set Theory that models P; there is no P-formula, Con(P), whose standard interpretation is unambiguously equivalent to Goedel's number-theoretic definition of "P is consistent"; every recursive number-theoretic function is not strongly representable in P; Tarski's definitions of "satisfiability" and "truth" can be made constructive, and intuitionistically unobjectionable, by reformulating Church's Thesis constructively; the classical definition of Turing machines can be extended to include self-terminating, converging, and oscillating routines; a constructive Church's Thesis implies, firstly, that every partial recursive number-theoretic function can be constructively extended as a unique total function, and, secondly, that we can define effectively computable functions that are not classically Turing-computable; Turing's and Cantor's diagonal arguments do not necessarily define Cauchy sequences.

研究の動機と目的

• 形式的言語に矛盾なく導入できる任意の記号を、形式的数学的対象と定義すること。
• ゲーデルの体系Pにおけるいかなる形式的表現の標準的解釈ともなっていない特定の再帰的数論的関係の意味を分析すること。
• 形式的体系における古典的解釈、すなわち整合性、表現可能性、計算可能性の見直し。
• 非構成的仮定を避けるために、タルスキの真理および満たしの定義を構成的枠組みで再定式化すること。
• 非終了、収束、および振動する手続きを含む、古典的チューリングマシンのモデルを拡張すること。

提案手法

• 矛盾なく形式言語に追加可能な記号（定数、述語、関数）として、形式的数学的対象の明確な定義を提示すること。
• ゲーデルの体系Pにおけるいかなる形式的表現の標準的解釈ともなっていない特定の再帰的数論的関係を分析すること。
• チューリング計算可能性を超える有効に計算可能な関数を許容するように、チューリングの Thesis を構成的に再定式化して計算可能性を再定義すること。
• 非終了、収束、および振動する計算的挙動を含む、古典的チューリングマシンのモデルを拡張すること。
• 非構成的依存を避けるために、構成的枠組みを用いてタルスキの満たしと真理の概念を再解釈すること。
• ゲーデルの形式的体系Pを基礎として、形式的表現および整合性の限界を検討すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲーデルの体系Pにおけるいかなる形式的表現の標準的解釈ともなっていない再帰的数論的関係が存在するか。
• RQ2 体系Pの整合性を明確に表現するPの論理式Con(P)が存在するか。
• RQ3 見直されたチューリングの Thesis の下で、任意の部分再帰的関数が構成的に全関数に拡張可能か。
• RQ4 構成的解釈の下で、古典的チューリング計算不能な有効に計算可能な関数が存在するか。
• RQ5 構成的枠組みにおいて、チューリングおよびカントールの対角線論法は、必然的にコーシー列を定義するか。

主な発見

• ゲーデルの体系Pにおけるいかなる形式的表現の標準的解釈ともなっていない再帰的数論的関係が存在する。
• 再帰的数論的関数の値域は、Pをモデルとする任意の整合的公理的集合論において、常に再帰的可算集合としての形式的数学的対象を定義するとは限らない。
• 体系Pの整合性を明確に同等に表現するPの論理式Con(P)は存在しない。
• 標準的解釈の下で、すべての再帰的数論的関数がPにおいて強く表現可能であるとは限らない。
• チューリングの Thesis を構成的に再定式化することで、タルスキの満たしと真理の定義を構成的かつ直感的に問題のないものにできる。
• 構成的チューリングの Thesis は、任意の部分再帰的関数が一意に全関数に拡張可能であり、かつ古典的チューリング計算不能な有効に計算可能な関数が存在することを示唆する。