[論文レビュー] Some Considerations on Six Degrees of Separation from A Theoretical Point of View

Norihito Toyota|ArXiv.org|Mar 17, 2008

Theoretical and Computational Physics参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Watts-Strogatzの小規模世界ネットワークモデルを用いて、ミルグラムの「六度の分離」の理論的基盤を検証し、クラスタリング係数が到達可能な個々の人数を数パーセントしか減少させないことを示している。これにより、個々の人物が数十人程度の接続を持つ場合、六度の分離が自然に生じることになる。本研究では、情報拡散を定量化するための伝搬係数モデルを導入し、高い接続性と中程度のクラスタリングが、大規模ネットワークにおける急速な拡散を維持することを明らかにした。

ABSTRACT

In this article we discuss six degrees of separation, which has been proposed by Milgram, from a theoretical point of view. Simply if one has $k$ friends, the number $N$ of indirect friends goes up to $\sim k^d$ in $d$ degrees of separation. So it would easily come up to population of whole world. That, however, is unacceptable. Mainly because of nonzero clustering coefficient $C$, $N$ does not become $\sim k^d$. In this article, we first discuss relations between six degrees of separation and the clustering coefficient in the small world network proposed by Watt and Strogatz\cite{Watt1},\cite{Watt2}. Especially, conditions that $(N)>$ (population of U.S.A or of the whole world) arises in the WS model is explored by theoretical and numerical points of view. Secondly we introduce an index that represents velocity of propagation to the number of friends and obtain an analytical formula for it as a function of $C$, $K$, which is an average degree over all nodes, and some parameter $P$ concerned with network topology. Finally the index is calculated numerically to study the relation between $C$, $K$ and $P$ and $N$.

研究の動機と目的

• ツリー型ネットワークにおける到達可能人数の指数的増加とは対照的に、六度の分離が驚くに値しない理由を理論的に検討すること。
• 特にWatts-Strogatzモデルにおける小規模世界ネットワークにおけるクラスタリング係数Cが情報拡散に与える影響を分析すること。
• 均一な仮定に基づく伝搬係数モデルを構築・適用し、ネットワークの世代にわたる情報拡散を定量化すること。
• Mixiやベーコン・ゲームのような現実世界のネットワークにおける均一仮説の妥当性を評価し、有限サイズおよびスケールフリー構造に起因する制限を同定すること。
• 大規模な人口において六度の分離内に迅速な情報拡散を実現するための主要パラメータ（C、K、p）を特定すること。

提案手法

• 小規模なpにおけるWatts-Strogatzモデルにおいて、クラスタリング係数C(p) = (3K−6)/(4K−2) × (1−p)^3および平均パス長L(p) = (2n/K) × F(nKp/2)の解析的表現を用いる。
• L ≈ 6±1かつネットワークサイズが約10^9人になるパラメータ領域（p, K）を特定するための数値解析を実施する。
• 均一な仮定に基づく伝搬係数モデルを導入し、C、K、トポロジー・パラメータPの関数として情報拡散速度を定義するメトリクスを設定する。
• 伝搬係数の解析的公式を導出し、異なるネットワークトポロジーにおいてその妥当性を数値的に検証する。
• Mixiソーシャルネットワークおよびベーコン・ゲーム（俳優ネットワーク）の実データを分析し、クラスタリング係数の推定とモデル仮定の検証を実施する。
• 世代ベースの分析（G_i）を用いて、ネットワーク層ごとに新規ノードと伝搬係数を追跡し、均一性からの逸脱を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小規模世界ネットワークにおいて、クラスタリング係数が六度の分離内での到達可能人数にどの程度の影響を与えるか。
• RQ2 Watts-Strogatzモデルにおいて、平均次数Kとリワイヤリング確率pのどの組み合わせが、六ステップ以内に約10^9人へ情報が拡散可能にするか。
• RQ3 非一様なクラスタリングを示すネットワークにおいて、伝搬係数モデルが情報拡散速度をどのように定量化できるか。
• RQ4 Mixiや俳優ネットワークのような現実世界のネットワークにおいて、クラスタリングおよび次数分布の均一仮説はどの程度妥当か。
• RQ5 有限サイズ効果およびスケールフリー構造は、伝搬係数およびクラスタリング係数の推定にどのような歪みをもたらすか。

主な発見

• クラスタリング係数は、ツリー型構造と比較して到達可能な個々の人数を数パーセントしか減少させないため、六度の分離は自然な結果となる。
• 一人あたりK ≈ 20–30の接続を持つ場合、Watts-Strogatzモデルですでに低いリワイヤリング確率下でも、6±1ステップで約10^9人へ情報が到達可能となる。
• 伝搬係数モデルは情報拡散速度を効果的に定量化でき、C、K、Pが拡散速度に影響を与える主要なパラメータであることが判明した。
• Mixiおよびベーコン・ゲームの実データ分析から、世代ごとのクラスタリング係数C_iが一定でないことが判明し、均一仮説が破綻している。
• 有限サイズ効果およびスケールフリー構造により、一部のケースで負のクラスタリング係数推定値が得られ、均一モデルの限界が示された。
• 極めて高い接続性を持つハブ（例：ケビン・ベーコン）では、伝搬係数のピークが最初の世代に現れ、初期の急速な拡散が確認されたが、極端に高い接続性を持つハブではモデルが破綻した。