[論文レビュー] Some constructions of biharmonic maps and Chen's conjecture on biharmonic hypersurfaces

Ye‐Lin Ou|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、直交乗法と固有写像を用いた新しい構成法を導入し、球面上の双調和トーラスや球面間の双調和写像といった明示的例を生成する。また、双調和グラフ方程式を介して、Chenの双調和超曲面に関する予想の同値な解析的定式化を確立し、予想のより深い解析的考察を可能にする。

ABSTRACT

We give several construction methods and use them to produce many examples of proper biharmonic maps including biharmonic tori of any dimension in Euclidean spheres (Theorem 2.2, Corollaries 2.3, 2.4, and 2.6), biharmonic maps between spheres (Theorem 2.9) and into spheres (Theorem 2.10) via orthogonal multiplications and eigenmaps. We also study biharmonic graphs of maps, derive the equation for a function whose graph is a biharmonic hypersurface in a Euclidean space, and give an equivalent formulation of Chen's conjecture on biharmonic hypersurfaces by using the biahrmonic graph equation (Theorem 4.1) which paves a way for analytic study of the conjecture.

研究の動機と目的

• 対称空間（特に球面）における正則双調和写像の体系的な構成法を開発すること。
• 任意次元のユークリッド球面上の双調和トーラスを含む、正則双調和写像の明示的例を生成すること。
• 双調和グラフ方程式を用いて、Chenの双調和超曲面に関する予想を同値な解析的問題に再定式化すること。
• 双調和グラフ方程式との関連を示し、Chenの予想の解析的考察のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 直交乗法と固有写像を用いて、球面への新しい双調和写像族を構成する。
• ユークリッド空間内の双調和超曲面のグラフとなる関数のための双調和グラフ方程式を導出する。
• フレーム適合とリーマン幾何学を用いて、グラフ超曲面上のラプラシアンおよび第二基本形式を計算する。
• ガウスの公式と接続計算を用いて、埋め込み空間の曲率を誘導計量および第二基本形式に関連付ける。
• ビテンション場の消滅と、関数のラプラシアンおよびその微分を含むPDE系との同値性を確立する。
• 陰関数定理を適用し、任意の超曲面が局所的にグラフとして現れることを示し、非調和双調和超曲面の問題を双調和グラフ方程式の解法に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直交乗法などの代数的構造を用いて、正則双調和写像の新たな明示的構成を体系的に生成できるか？
• RQ2 任意次元のユークリッド球面上に双調和トーラスが存在するか？もしあるならば、どのように構成できるか？
• RQ3 Chenの双調和超曲面に関する予想は、関数のグラフに関するPDE系の可解性条件と同値か？
• RQ4 双調和グラフ方程式は、ベルンシュタインの予想のような古典的予想とどのように関係するか？
• RQ5 Chenの予想の解析的定式化は、その証明または反証のための新たなアプローチを可能にするか？

主な発見

• 本稿では、直交乗法を用いて任意次元のトーラスから単位球面への正則双調和写像を構成し、球面上に任意次元の双調和トーラスが存在することを示した（定理2.2、系2.3および2.4）。
• 固有写像と直交乗法を用いて、球面間および球面への双調和写像の明示的構成を提供した（定理2.6および定理2.7）。
• 本稿では双調和グラフ方程式を導出し、関数のグラフが双調和超曲面であるための必要十分条件として、そのラプラシアンがグラフによって誘導される計量および2階微分を含むPDE系を満たすことであることを示した（定理4.1）。
• Chenの双調和超曲面に関する予想が、双調和グラフ方程式の解が調和関数（すなわちΔf = 0）に限ることと同値であることを示し、予想を解析的PDE問題に還元した。
• 本稿では、Chenの予想とベルンシュタインの予想との間の構造的類似性を確立し、両者ともある種のPDEの自明解の存在を論じるものであることを示唆したが、m > 7 においてベルンシュタインの予想が成立しないことから、Chenの予想も高次元では成立しない可能性があると示唆した。