[論文レビュー] Some counterexamples in dynamics of rational semigroups

Rich Stankewitz, Toshiyuki Sugawa+1 more|ArXiv.org|Aug 25, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、有理関数の半群動力学における3つの予想に対する明示的な反例を構成し、生成元のジュリア集合が異なる場合でも、完全不変ジュリア集合 $ E(G) $ が閉区間である可能性を示している。これは、$ E(G) $ が単純閉曲線でなければならない、あるいは $ J(G) = E(G) $ ならばほぼアーベル構造をとるという予想を反証するものである。これらの例は、主要な予想が例外的な場合を許容するように見直される必要があることを示している。

ABSTRACT

We give an example of two rational functions with non-equal Julia sets that generate a rational semigroup whose completely invariant Julia set is a closed line segment. We also give an example of polynomials with unequal Julia sets that generate a non nearly Abelian polynomial semigroup with the property that the Julia set of one generator is equal to the Julia set of the semigroup. These examples show that certain conjectures in the field of dynamics of rational semigroups do not hold as stated and therefore require the allowance of certain exceptional cases.

研究の動機と目的

• 有理関数の半群動力学における予想1.1, 1.2, 1.4を反証すること。これらは完全不変ジュリア集合 $ E(G) $ およびほぼアーベル性に関する構造的制約を提示している。
• 生成元のジュリア集合が異なる場合でも、$ E(G) $ が閉区間である可能性を示し、$ E(G) $ が単純閉曲線でなければならないという期待に反する。
• ジュリア集合が半群のジュリア集合と等しい非ほぼアーベル多項式半群を構成し、既知の定理の逆が成り立たないことを反証する。
• $ J(G) \subsetneq E(G) $ が有理関数の半群で可能であることを示し、ジュリア集合と完全不変ジュリア集合が等しいと仮定すると構造的正則性が保証されるという仮定に反する。
• 非一様動的系および非アーベル半群の文脈において、必要となる例外的な場合を特定することで、既存の予想を洗練すること。

提案手法

• ジュリア集合が互いに異なるが、両方とも拡張実数直線 $ \overline{\mathbb{R}} $ を保存する有理関数 $ f(z) = 2z - 1/z $ および $ g(z) = 2z - 4/z $ を構成し、これにより $ E(G) \subset \overline{\mathbb{R}} $ が得られる。
• メビウス共役 $ \phi(z) = 2z $ を用いて $ f $ と $ g $ を新しい有理写像 $ \tilde{f}, \tilde{g} $ に変換し、$ \phi(J_f) = 2J_f $ となるようにする。この変換は動的性質を保ちつつ、$ E(\tilde{G}) = \phi(\overline{\mathbb{R}}) = I $（閉区間）を保証する。
• 背理法を用いて $ E(G) = \overline{\mathbb{R}} $ を証明する。非退化な区間 $ (x,y) \subset \mathbb{R} \setminus E(G) $ が存在すると仮定すると、$ g^{-1}(f(x)) \subset E(G) $ に点が存在し、不交和の性質に反する。
• モンテルの定理を適用して $ \overline{\mathbb{C}} \setminus [-2,2] \subset N(G) $ を示し、$ J(G) = [-2,2] $ であることが示される。一方で $ J_g \subset [-1,1] $ であるため、$ J_g \neq J_f $ である。
• ビーディーンの定理（可換族に関する）を用い、ほぼアーベル構造の逆が成り立たないことを正当化する。具体的には、$ J_h = J(G) $ だが $ G $ がほぼアーベルでない半群を構成する。
• 関数 $ f(z) = z^2 - 2 $、$ g(z) = 4z^2 - 2 $ が $ J_f = [-2,2] $、$ J_g \subset [-1,1] $ を満たし、$ J(G) = J_f $ であることを確認する。また、$ g $ は $ [-1,1] $ を $ 2:1 $ の対応で $ [-2,2] $ にマッピングする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成元のジュリア集合が異なる有理関数の半群において、完全不変ジュリア集合 $ E(G) $ が閉区間であることは可能か？
• RQ2 $ J(G) = E(G) $ ならば、半群はほぼアーベルであると保証されるのか？特に、半群のジュリア集合と一致する生成子が1つだけである場合に限っても同様か？
• RQ3 有理関数の半群において $ J(G) \subsetneq E(G) $ が可能であるか？これは、$ E(G) $ が完全不変性のもとで最小であるとされる期待に反する。
• RQ4 非ほぼアーベル半群で、半群のジュリア集合と1つの生成子のジュリア集合が等しいものは存在するか？
• RQ5 単一の生成子 $ h $ に対して $ J_h = J(G) $ が成り立つが、半群 $ G $ がほぼアーベルでない場合、どのような条件下でこの等式がほぼアーベル性を示さないのか？

主な発見

• 生成元 $ f(z) = 2z - 1/z $、$ g(z) = 2z - 4/z $ からなる半群 $ G = \langle f, g \rangle $ に対して、$ E(G) = \overline{\mathbb{R}} $（閉区間）であるが、$ J_f \neq J_g $ であるため、予想1.1および1.2が反証される。
• メビウス共役を施した後、半群 $ \tilde{G} = \langle \tilde{f}, \tilde{g} \rangle $ に対して $ E(\tilde{G}) = I $（閉区間）であり、$ J(\tilde{G}) \subsetneq I $ である。これは $ J(G) \subsetneq E(G) $ が可能であることを示している。
• 多項式半群 $ G = \langle f, g \rangle $ で $ f(z) = z^2 - 2 $、$ g(z) = 4z^2 - 2 $ をとると、$ J(G) = [-2,2] = J_f $ であるが、$ J_g \subset [-1,1] $ であるため $ J_f \neq J_g $ であり、$ G $ はほぼアーベルでない。
• この例により、$ J_h = J(G) $ であっても $ G $ がほぼアーベルでないことが示され、予想1.4が無効であることが確認される。
• 生成元のジュリア集合が異なる場合でも、完全不変ジュリア集合 $ E(G) $ が線分であることは可能であり、このような集合が常に単純閉曲線であるとは限らない。
• この構成により、$ E(G) $ が常に $ J(G) $ と等しいとは限らず、$ J(G) \subsetneq E(G) $ が有理関数の半群の動的性質と整合的であることが確認され、従来の予想の見直しが必要であることが示された。