[論文レビュー] Some critical point theorems and applications

Guangcun Lu|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、新たな分割定理を活用することで、$C^2$ でない連続的に方向微分可能な汎関数に対する新しい臨界点定理を確立し、従来の結果よりも弱い仮定で成立する。臨界群の計算とモーツィン不等式の一般化を実現し、特に退化および符号変化臨界点に対して有効であり、非線形高階楕円型偏微分方程式に対する複数解の存在を証明する応用がなされている。

ABSTRACT

This paper is a continuation of \cite{Lu1}. In Part I, applying the new splitting theorems developed therein we generalize previous some results on computations of critical groups and some critical point theorems to weaker versions. In Part II (in progress), they are used to study multiple solutions for nonlinear higher order elliptic equations described in the introduction of \cite{Lu1}.

研究の動機と目的

• $C^2$ から連続的に方向微分可能な汎関数への滑らかさの仮定を緩和することで、従来の臨界点定理を拡張すること。
• 以前の研究よりも弱い条件下で、退化および符号変化臨界点における臨界群の計算を一般化すること。
• 部分微分と弱勾配の複雑な計算を回避する枠組みを構築し、変分問題への適用性を高めること。
• 精密化された臨界点理論を用いて、非線形高階楕円型偏微分方程式に対する複数解の存在を証明すること。
• 特異ホモロジーにおけるホモトピー同値と同型写像を確立し、臨界群と部分レベル集合の位相的不変量との関係を明示すること。

提案手法

• 連続的に方向微分可能な汎関数に対する新しい分割定理を用いて、古典的な $C^2$ 仮定を置き換える。
• 変形補題および弱勾配／強勾配の概念（弱勾配 $|df|(u)$ と強勾配 $|\nabla f(u)|$）を用いて、臨界点を分析する。
• Cerami の $(C)_c$ 条件と Palais-Smale の $(PS)_c$ 条件を用いて、臨界列のコンパクト性を保証する。
• ホモトピー同値と切除同型写像（補題 5.10, 5.11, 5.12 を用いて）を用いて、臨界群と部分レベル集合の相対ホモロジーとの関係を確立する。
• 同型写像 $C^q({\frak L}, u) \cong \bar{H}^q(N \cup \mathcal{L}^{c-\delta}, \mathcal{L}^{c-\delta} \cap N)$ を用いて、孤立した臨界点における臨界群を計算する。
• $\bar{H}^q(\mathcal{L}^{c+\delta} \cup W_\varepsilon, \mathcal{L}^{c-\delta} \cup W_\varepsilon) \cong \bigoplus_{i=1}^m C^q({\frak L}, u_i)$ を確立し、孤立した臨界点に対して、位相的構造と臨界群の関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかさの仮定を $C^2$ または $C^1$ に依存しない連続的に方向微分可能な汎関数に対して、臨界点定理をどのように一般化できるか。
• RQ2 弱いコンパクト性および微分可能性の仮定のもとで、退化および符号変化臨界点における臨界群の構造はどのようなものか。
• RQ3 部分微分と弱勾配の計算を回避することで、臨界群の計算を簡素化できるか。
• RQ4 部分レベル集合の位相的不変量から、複数の非自明な臨界点の存在がどのような条件下で導かれるか。
• RQ5 相対ホモロジー対間のホモトピー同値が、変分問題における臨界群構造とどのように関係するか。

主な発見

• $\delta > 0$ を十分に小さくとると、$C^q({\frak L}, u) \cong \bar{H}^q({\mathcal{L}^{c+\delta} \cup W_\varepsilon}, {\mathcal{L}^{c-\delta} \cup W_\varepsilon})$ が成り立ち、臨界群と相対ホモロジーを結ぶ。
• 孤立した臨界点 $u$ がレベル $c_1$ に存在する場合、臨界群は $C^q({\frak L}, u) \cong \delta_{q1} \mathbb{Z}_2$ を満たし、非自明な1次元臨界群を示す。
• $c_1 < {\frak L}(\theta)$ ならば、$K^*_c$ は少なくとも1つの非自明な臨界点を含み、与えられた仮定のもとで $K^*_{c_1} \neq \emptyset$ が成り立つ。
• $K^*_c = \emptyset$ が $c \in [b,d] \setminus \{c\}$ で成り立つとき、包含写像 $({\mathcal{L}^{b} \cup W_\varepsilon}, {\mathcal{L}^{a} \cup W_\varepsilon}) \to ({\mathcal{L}^{d} \cup W_\varepsilon}, {\mathcal{L}^{a} \cup W_\varepsilon})$ はホモトピー同値であり、位相的不変性を示す。
• 臨界点 $u$ における臨界群の計算は $\bar{H}^q(N \cup \mathcal{L}^{c-\delta}, \mathcal{L}^{c-\delta} \cap N)$ に同型であり、近傍の変形による位相的解析が可能になる。
• $\bar{H}^q(H, W_\varepsilon; \mathbb{Z}_2) \cong \delta_{q1} \mathbb{Z}_2$ という結果は、空間の位相的複雑性を確認し、非自明な臨界点の存在を支持する。