[論文レビュー] Some Diffusion Processes Associated With Two Parameter Poisson-Dirichlet Distribution and Dirichlet Process

Shui Feng, Wei Sun|ArXiv.org|Mar 3, 2009

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ディリクレ形式を用いて、二パラメータのポisson-ディリクレ分布 $PD(\alpha,\theta)$ および二パラメータのディリクレ過程 $\Pi_{\alpha,\theta,\nu_0}$ に関連する二パラメータ対称拡散過程を構成する。確率測度の空間上でのラベル付き拡散過程の存在と一意性を確立し、関連する双線形形式が閉じられ、擬正則な局所的ディリクレ形式を生成することを証明することで、フレミング＝ビオット過程の二パラメータ版の候補を同定する。

ABSTRACT

The two parameter Poisson-Dirichlet distribution $PD(α,θ)$ is the distribution of an infinite dimensional random discrete probability. It is a generalization of Kingman's Poisson-Dirichlet distribution. The two parameter Dirichlet process $Π_{α,θ,ν_0}$ is the law of a pure atomic random measure with masses following the two parameter Poisson-Dirichlet distribution. In this article we focus on the construction and the properties of the infinite dimensional symmetric diffusion processes with respective symmetric measures $PD(α,θ)$ and $Π_{α,θ,ν_0}$. The methods used come from the theory of Dirichlet forms.

研究の動機と目的

• 無限個の中立的アレルの非ラベル付きおよびラベル付きモデルを、対称的拡散過程を用いて二パラメータ設定に拡張すること。
• 確率測度の空間上での二パラメータラベル付き拡散過程の存在と一意性を確立すること。
• 提案されたディリクレ形式が閉じられ、擬正則な局所的ディリクレ形式を生成することを証明し、拡散過程の存在を保証すること。
• 親独立変異を伴う二パラメータのフレミング＝ビオット過程の厳密な構成を提供すること。

提案手法

• ディリクレ形式の理論を用いて、対称測度 $PD(\alpha,\theta)$ および $\Pi_{\alpha,\theta,\nu_0}$ を持つ無限次元対称拡散過程を構成する。
• $E={\cal M}_1(S)$ における $L^2(E;\Pi_{\alpha,\theta,\nu_0})$ の筒型関数の稠密な定義域上に双線形形式 $({\cal E},{\cal F})$ を定義する。
• 同一起点の i.i.d. $S$-値確率変数 $\xi_s$ の独立性を用いて、線形汎関数 $B_{f-\nu_0(f)}$ の有界性を示すことにより、形式の閉じることを確立する。
• 結果 [21, Lemma 7.5 および Proposition 5.11] を適用して、閉包 $({\cal E},D({\cal E}))$ が擬正則な局所的ディリクレ形式であることを証明する。
• GEM表現および分割に基づくモーメント母関数 $M_n(\lambda)$ を用いて、二パラメータポアソン＝ディリクレ分布の構造を分析する。
• ベータ関数およびガンマ関数の漸近挙動を用いて、積分 $\int \sum_i \rho_i(1-\rho_i)^n \Pi_{\alpha,\theta,\nu_0}(d\mu)$ を評価し、$O(n^{\alpha-1})$ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラベル付き無限個の中立的アレルモデルの二パラメータ一般化を、拡散過程として構成できるか？
• RQ2 二パラメータモデルに関連する双線形形式が閉じられ、擬正則な局所的ディリクレ形式と関連しているか？
• RQ3 $n \to \infty$ のとき、モーメント $\int \sum_i \rho_i(1-\rho_i)^n \Pi_{\alpha,\theta,\nu_0}(d\mu)$ の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 二パラメータポアソン＝ディリクレ分布は、GEM表現および分割に基づくモーメント母関数とどのように関係しているか？

主な発見

• 条件 $\alpha = -\kappa$, $= m\kappa$ ($\kappa > 0$, $m \in \{2,3,\dots\}$) の下で、双線形形式 $({\cal E},{\cal F})$ は $L^2(E;\Pi_{\alpha,\theta,\nu_0})$ 上で閉じられる。
• 閉包 $({\cal E},D({\cal E}))$ は、$E={\cal M}_1(S)$ 上の擬正則な局所的ディリクレ形式であり、拡散過程の存在を保証する。
• 構成された過程は、親独立変異を伴う二パラメータのフレミング＝ビオット過程の良い候補である。
• モーメント $\int \sum_i \rho_i(1-\rho_i)^n \Pi_{\alpha,\theta,\nu_0}(d\mu)$ の漸近的挙動は $O(n^{\alpha-1})$ で抑えられ、$n$ に一様である。
• $\sum_{\lambda:|\lambda|=n} M_n(\lambda) l(\lambda)$ が $O(n^\alpha)$ であることが示され、線形汎関数 $B_{f-\nu_0(f)}$ の有界性を示すために重要である。
• 証明はベータ関数の漸近挙動および恒等式 $\int \sum_i \rho_i(1-\rho_i)^n \Pi_{\alpha,\theta,\nu_0}(d\mu) \approx C_1(\alpha,\theta) \cdot \Gamma(1-\alpha) (1+\theta+n)^{-(1-\alpha)}$ に依拠し、一様な評価 $C_2(\alpha,\theta)$ を得る。