[論文レビュー] Some effectivity questions for plane Cremona transformations

N. I. Shepherd‐Barron|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、平面クレモナ写像の分類——特に、その写像が楕円型、放物型、双曲型であるかどうかの特定——が、双曲平面 H 上の力学的性質を分析することによって、任意の体上でも有効に可能であるかを検討する。主な結果は、Cr₂(k) 内のクレモナ写像の型と移動長が体拡大に関して不変であることを確立しており、これにより、双曲平面における幾何的性質を用いて任意の体上で分類が可能である。

ABSTRACT

We give a way of estimating quickly the length of the hyperbolic isometry associated to a plane Cremona transformation that is presented as the product of two involutions. We also show, using the ideas of Cantat and Lamy, that, provided that the ground field is either algebraic of characteristic not 2 or of characteristic zero, the normal closure of a high power of such a transformation is a proper subgroup of the Cremona group; this gives an effective instantiation of some of their results. Moreover, we show that any hyperbolic Cremona transformation is rigid and give a simple criterion for it to be tight. This version is thoroughly revised from the previous version. In particular, it corrects an error in an earlier version that was pointed out by Lonjou.

研究の動機と目的

• 平面クレモナ写像（楕円型、放物型、双曲型）の動的分類が、任意の体上で有効に可能かどうかを特定すること。
• クレモナ写像の双曲平面 H における作用を通じた幾何的挙動を分析すること。
• Cr₂(k) 内の写像の型と移動長が体拡大に関して保存されることを確立すること。
• 双曲型写像を、H 内の測地線 G 上の軸と固定点を用いて特徴付けること。
• クレモナ写像の動的型が、H 内の測地線 G への制限によって決定されることを証明すること。

提案手法

• クレモナ写像を双曲平面 H 上の等長写像として扱い、その作用を用いる。
• 幾何的力学の応用：H 内の固定点および測地線への最近接点射影。
• x ↦ y（y は点 x から測地線 G への最近接点）という写像を定義し、不変構造を分析する。
• 双曲型写像をその軸 Γ で特徴付け、それが G への制限によって保存される測地線 Δ と一致することを示す。
• H 内の固定点とそれらを G に射影した点の双対性を用い、写像の型を推論する。
• ϕ|G が双曲型であれば、ϕ は双曲型であり、その軸は ϕ|G によって保存される測地線 Δ である。逆も同様である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面クレモナ写像の動的型（楕円型、放物型、双曲型）は、任意の体上で有効に特定可能か？
• RQ2 クレモナ写像を H 内の測地線 G に制限したとき、その制限が写像のグローバルな動的型をどのように決定するか？
• RQ3 双曲型クレモナ写像の軸と、その写像を G に制限したときに保存される測地線との関係は何か？
• RQ4 クレモナ写像の移動長は、基本体に依存するか、それとも体拡大に関して不変か？
• RQ5 点 P ∈ H−G とその G 上の最近接点 Q を固定する写像が、どのようにしてグローバルに双曲型写像に拡張可能か？

主な発見

• クレモナ写像 ϕ が H−G 内の点 P を固定し、かつ G 上の最近接点 Q をも固定するならば、ϕ は測地線 G を保存する。
• 軸が Γ である双曲型写像 ϕ に対して、H から G への最近接点射影 x ↦ y の像は、ϕ によって保存される測地線 Δ であり、Γ = Δ が成り立つ。
• ϕ|G が双曲型であれば、ϕ は双曲型であり、その軸は ϕ|G によって保存される測地線 Δ である。
• クレモナ写像が楕円型、放物型、双曲型のいずれであるかの分類は、体の拡大に関して不変である。
• Cr₂(k) 内のクレモナ写像の移動長は、任意の体拡大の後でも計算可能であり、これは安定な不変量であることを示唆する。