[論文レビュー] Some enumerations of binary digital images

P. Christopher Staecker|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2015

Digital Image Processing Techniques参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ℤ²における4-隣接および8-隣接の下で、同型を除いて連結な2値デジタル画像を体系的に列挙し、剛性、不可約性、および点付き不可約性によって分類する。Sageを用いたコンピュータ支援のブルートフォース探索により、非剛性の不可約画像が非常にまれであることが判明し、それらが正確にn > 4のサイクルグラフCₙであると予想される。

ABSTRACT

The topology of digital images has been studied much in recent years, but no attempt has been made to exhaustively catalog the structure of binary images of small numbers of points. We produce enumerations of several classes of digital images up to isomorphism and decide which among them are homotopy equivalent to one another. Noting some patterns in the results, we make some conjectures about digital images which are irreducible but not rigid.

研究の動機と目的

• ℤ²における4-隣接および8-隣接の下で、同型を除いてすべての連結な2値デジタル画像を体系的に列挙すること。
• ホモトピー論的性質：剛性、不可約性、および点付き不可約性に基づいてこれらの画像を分類すること。
• 非剛性の不可約画像に見られるパターンを特定し、その構造についての予想を提示すること。
• 今後のデジタルトポロジー分野の研究のための機械可読データおよび可視化を提供すること。

提案手法

• Sageを用いた総当りのコンピュータ探索により、小さな点数に対して同型を除いてすべての連結な単純グラフを列挙する。
• グラフ同型のチェックを適用して、4-隣接（最大12点まで）および8-隣接（最大9点まで）の下で画像を分類する。
• ホモトピー同値の定義を用いる：写像が連続的であり、画像構造を固定する場合、1ステップで恒等写像にホモトープである。
• 恒等写像が1ステップで非全射写像にホモトープであるかどうかをテストするアルゴリズムを実装し、不可約性を決定する。
• 恒等写像が自分自身にホモトープである唯一の写像であるかどうかをチェックすることで、剛性を検証する。
• 線形変換f(x,y) = (x+y, x−y)を用いて、任意の4-隣接画像が8-隣接画像に同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4-隣接の下で、不可約であるが剛性でないℤ²内の連結なデジタル画像はどれか？
• RQ2 4-隣接の下で、n > 4のサイクルグラフCₙ以外に非剛性の不可約画像は存在するか？
• RQ3 4-隣接および8-隣接の下で、点数の増加に伴い、剛性、不可約、点付き不可約の画像の数はどのように増加するか？
• RQ4 任意の4-隣接画像が8-隣接画像に同型であるかどうか？もしそうならば、どのような変換によって実現されるか？
• RQ5 非剛性の不可約デジタル画像の構造的性質は何か？

主な発見

• 4-隣接の下では、n > 4のサイクルグラフCₙ以外に非剛性かつ不可約な画像は存在せず、それらが唯一の候補であると考えられる。
• 8-隣接の下でも同様のパターンが成り立つ：非剛性の不可約画像は、n > 4のCₙに同型であると予想される。
• n ≥ 3のとき、8-隣接画像の数は4-隣接画像の数を上回る。これは、追加の対角隣接性のおかげである。
• 恒等写像が1ステップで非全射写像にホモトープであることは、画像が不可約であることに同値である。これは[4]の補題2.9による。
• 変換f(x,y) = (x+y, x−y)は、ℤ²における任意の4-隣接画像と8-隣接画像との間で同型を確立する。
• 図2(a)の13点の4-隣接画像は、不可約であるが点付き不可約である。これは、点付き不可約性が不可約性を含意しないことを確認している。