[論文レビュー] Some Estimates for Martingale Representation under G-Expectation

Ying Hu, Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、G期待値下でのマルティングール表現に対する事前推定を確立し、$ X \in L_G^2(\Omega_T) $ に対して、$ M_t = \mathbb{E}_G[X|\mathcal{F}_t] = \mathbb{E}_G[X] + \int_0^t z_s dB_s + \int_0^t \eta_s d\langle B\rangle_s - \int_0^t 2G(\eta_s)ds $ の分解の存在および一意性を証明する。また、$ \mathbb{E}_{G_\varepsilon}\int_0^T |\eta_t| dt \leq \varepsilon^{-1}(\mathbb{E}_G[X] + \mathbb{E}_{G_\varepsilon}[-X]) $ という重要な推定を提供し、一般条件下での表現の存在および一意性の新たな証明を可能にする。

ABSTRACT

We provides some useful estimates for solving martingale representation problem under G-expectations. We also study the corresponding conditions for the existence and uniqueness.

研究の動機と目的

• 一般の $ X \in L_G^2(\Omega_T) $ に対するG期待値下でのマルティングール表現の未解決問題に取り組むこと。これは、$ L_{ip} $-ケースを超えて一般化することを目的とする。
• 表現における過程 $ \eta $ に対する事前推定を確立すること。これは、二次変動ドリフト項を制御する。
• 分解 $ M_t = \mathbb{E}_G[X|\mathcal{F}_t] = \mathbb{E}_G[X] + \int_0^t z_s dB_s + \int_0^t \eta_s d\langle B\rangle_s - \int_0^t 2G(\eta_s)ds $ の存在および一意性を証明すること。
• Song（2010）の結果を $ p>1 $ の $ L_G^p $ から $ L_G^2 $ に一般化し、関数 $ G $ の摂動を用いる。

提案手法

• 小さな $ \varepsilon > 0 $ に対して $ G_\varepsilon $ が依然として劣線形であることを保証する摂動された劣線形関数 $ G_\varepsilon(a) = G(a) - \frac{\varepsilon}{2}|a| $ を導入する。
• 全変動を制御する重要な推定 $ \mathbb{E}_{G_\varepsilon}\int_0^T |\eta_t| dt \leq \varepsilon^{-1}(\mathbb{E}_G[X] + \mathbb{E}_{G_\varepsilon}[-X]) $ を導出する。
• 過程 $ \{\xi_n\} \subset L_{ip}(\Omega_T) $ が $ \rho $-距離で $ \xi \in L_G^{2,*}(\Omega_T) $ に収束することを用いて、表現における極限に移行する。
• テスト過程 $ \mu_s^{m,n} = \frac{\hat{\eta}_s^{m,n}}{\delta + |\hat{\eta}_s^{m,n}|} $ を用いて、$ \eta $ と増加過程 $ A_t $ の双対性を適用し、収縮推定を導出する。
• $ M_{\overline{G}_\varepsilon}^1(0,T) $ および $ H_{\overline{G}_\varepsilon}^\alpha(0,T) $ におけるコーシー列を確立し、$ \eta^n $ および $ z^n $ が極限過程に収束することを保証する。
• Song（2010）の $ L_G^p $-収束に関する結果を用いて、$ X \in L_G^2(\Omega_T) $ に対して表現における極限を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $ X \in L_G^2(\Omega_T) $ に対して、Gマルティングール表現における過程 $ \eta $ に対する事前推定を導出可能か？
• RQ2 表現 $ \mathbb{E}_G[X|\mathcal{F}_t] = \mathbb{E}_G[X] + \int_0^t z_s dB_s + \int_0^t \eta_s d\langle B\rangle_s - \int_0^t 2G(\eta_s)ds $ はすべての $ X \in L_G^2(\Omega_T) $ に対して存在するか？
• RQ3 G期待値枠組み下で、分解 $ M = M^s - A $ は一意的か？
• RQ4 摂動された劣線形関数 $ G_\varepsilon $ を用いて、$ L_{ip}(\Omega_T) $ を超えて表現を拡張可能か？
• RQ5 増加過程 $ A $ が有界変動を満たすとき、どのような条件下で表現の存在が保証されるか？

主な発見

• 本稿は、$ \mathbb{E}_{G_\varepsilon}\int_0^T |\eta_t| dt \leq \varepsilon^{-1}(\mathbb{E}_G[X] + \mathbb{E}_{G_\varepsilon}[-X]) $ という推定を確立し、$ \eta $ の全変動が $ X $ の劣線形期待値およびその負の部分の期待値で制御されることを示す。
• この推定は、$ X \in L_{ip}(\Omega_T) $ に対するGマルティングール表現の存在に関する新たな証明を可能にし、従来の結果を超える。
• 著者らは、増加過程 $ A $ が有界変動条件を満たすという条件下で、$ L_G^p(\Omega_T) $（$ p > 1 $）において、表現 $ M_t = \mathbb{E}_G[X|\mathcal{F}_t] $ の一意性を証明する。
• $ \{\eta^n\} $ が $ M_{\overline{G}_\varepsilon}^1(0,T) $ でコーシー列であることが示され、この空間内での $ \eta $ の極限への収束が保証される。
• $ \{z^n\} $ が $ H_{\overline{G}_\varepsilon}^\alpha(0,T) $ でコーシー列であることが示され、ブラウン運動成分の収束が保証される。
• 極限表現 $ \xi = \mathbb{E}_G[\xi] + \int_0^T z_s^\xi dB_s + \int_0^T \eta_s^\xi d\langle B\rangle_s - \int_0^T 2G(\eta_s^\xi)ds $ はすべての $ \xi \in L_{\overline{G}}^{2,*}(\Omega_T) $ に対して成り立ち、$ L_G^2(\Omega_T) $ への拡張が完了する。