[論文レビュー] Some estimators of the PDF and CDF of the Lindley Distribution

Sudhansu S. Maiti, Indrani Mukherjee|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2016

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リンドレー分布の確率密度関数（PDF）および累積分布関数（CDF）の推定に関して、最尤推定量（MLE）、一様最小分散不偏推定量（UMVUE）、百分位数推定量（PCE）、最小二乗法（LSE）、加重最小二乗法（WLSE）、クレーマー＝ヴァン・ミース推定量（CVME）、アンダーソン・ダーリング推定量（ADE）の複数の推定量を提案および比較する。モンテカルロシミュレーションの結果、不偏推定量の中で最小分散を示すUMVUEが最適である一方で、平均二乗誤差（MSE）の観点ではMLEが優れていることが判明し、偏りがあるものの全体としての性能が優れているため、MLEが好ましいと結論づけられる。

ABSTRACT

This article addresses the different methods of estimation of the probability density function (PDF) and the cumulative distribution function (CDF) for the Lindley distribution. Following estimation methods are considered: uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE), maximum likelihood estimator (MLE), percentile estimator (PCE), least square estimator (LSE), weighted least square estimator (WLSE), Cramér-von-Mises estimator (CVME), Anderson-Darling estimator (ADE). Monte Carlo simulations are performed to compare the performances of the proposed methods of estimation.

研究の動機と目的

• リンドレー分布のPDFおよびCDFの推定に関するさまざまな推定量の開発および比較を行い、パrameter推定から関数推定への焦点のシフトを図ること。
• MLE、UMVUE、PCE、LSE、WLSE、CVME、ADEといった異なる推定手法がPDFおよびCDFに与える影響を評価すること。
• 特に平均二乗誤差（MSE）を指標として、有限標本におけるこれらの推定量の性能をモンテカルロシミュレーションにより評価すること。
• 十分統計量および条件付き分布に基づき、PDFおよびCDFのUMVUEの解析的表現を導出すること。
• MLEは偏りがあるものの、UMVUEより優れたMSE性能を示すため、実用的選択肢としての妥当性を示すこと。

提案手法

• 不変性の原理を用いてパrameter θの最尤推定量（MLE）を導出し、それをリンドレー分布の式に代入することでPDFおよびCDFを推定する。
• 完全十分統計量 T = ΣXᵢ における X₁ の条件付き分布を用い、バーサの定理およびレーマン＝シェッフェの定理を応用することで、PDFおよびCDFのUMVUEを構築する。
• 経験的分布関数と理論的分布関数の差の二乗和を最小化することで、最小二乗法（LSE）および加重最小二乗法（WLSE）によるPDFおよびCDF推定量を導出する。
• CDFの逆関数を用い、観測された百分位数と理論的百分位数の差の加重二乗和を最小化することで、百分位数推定量（PCE）を提案する。
• 経験的分布関数と理論的分布関数の距離関数を最小化することで、クレーマー＝ヴァン・ミース推定量（CVME）およびアンダーソン＝ダーリング推定量（ADE）を導出する。
• 1,000回の繰り返しを含むモンテカルロシミュレーションを用い、さまざまな標本サイズにおけるすべての推定量の平均二乗誤差（MSE）を計算・比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限標本において、リンドレー分布のPDFおよびCDFの推定において、どの推定量が最小の平均二乗誤差（MSE）を達成するか？
• RQ2 一様最小分散不偏推定量（UMVUE）と最尤推定量（MLE）の間で、MSEおよび分散の観点から性能にどのような差があるか？
• RQ3 百分位数推定量、最小二乗法、加重最小二乗法、クレーマー＝ヴァン・ミース推定量、アンダーソン＝ダーリング推定量といった代替推定量は、MLEおよびUMVUEに対してどの程度優れているか？
• RQ4 順序統計量の十分統計量に関する条件付き分布を用いて、PDFおよびCDFのUMVUEの解析的表現を導出できるか？
• RQ5 MLEは偏りがあるものの、PDFおよびCDFの推定において、不偏推定量であるUMVUEよりもバイアスと分散のトレードオフが優れていると言えるか？

主な発見

• MLEによるPDFおよびCDFの推定は、偏りがあるものの、平均二乗誤差（MSE）においてUMVUEを上回る性能を示す。
• PDFおよびCDFのUMVUEは、T における X₁ の条件付き分布を用いて解析的に導出され、不偏推定量の中で最適である。
• 標本サイズが増加するにつれて、すべての推定量のMSEが減少し、一貫性が確認される。
• シミュレーションの結果、すべての推定量のMSEが標本サイズの増加に伴い減少し、推定量の漸近的性質が裏付けられる。
• 検討された手法の中で、MLEはPDFおよびCDFの両方において最小のMSEを示し、有限標本における優れた性能を示している。
• クレーマー＝ヴァン・ミースおよびアンダーソン＝ダーリング推定量は、最小距離原理に基づき導出されており、後者は漸近的挙動への収束が速い。