[論文レビュー] Some evidence in favor of Morrey's conjecture

Pablo Pedregal|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2014

Advanced Topology and Set Theory参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、τをパラメータとする2成分写像の明示的族を構成することで、モリィの予想を支持する証拠を強化している。τが小さい場合、これらの写像は層化によって実現できないことが示されている。結果は、2次元において、ランク1凸性が擬凸性を意味しないことを示唆し、予想の妥当性を支持する。

ABSTRACT

We provide further evidence to favor the fact that rank-one convexity does not imply quasiconvexity for two-component maps in dimension two. We provide an explicit family of maps parametrized by $τ$, and argue that, for small $τ$, they cannot be achievable by lamination. In this way, Morrey's conjecture might turn out to be correct in all cases.

研究の動機と目的

• 2次元における2成分ベクトル場について、ランク1凸性が擬凸性を意味するかを調査すること。
• 一般にランク1凸性が擬凸性を意味しないという主張を含む、モリィの予想の妥当性を検証すること。
• 層化という擬凸性理論の主要なメカニズムによって実現できない明示的写像を構成すること。
• モリィの予想がすべてのケースで成り立つ可能性をさらに裏付ける証拠を提供すること。

提案手法

• τ ∈ ℝ をパrameterとする1パラメータ族の2成分写像を構成すること。
• 層化技術を用いた写像の振る舞いを分析し、その実現可能性を評価すること。
• 構造的および解析的議論を用いて、τが小さい場合、写像が層化によって達成できないことを示すこと。
• 写像の幾何的および解析的性質に注目し、擬凸性への含意を推論すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 τが小さい場合に構成された写像族は、層化プロセスによって実現可能か？
• RQ2 層化による実現不能性は、これらの写像が擬凸でないことを示唆するか？
• RQ3 これらの写像の非層化的性質は、ランク1凸性と擬凸性の関係について何を示唆するか？
• RQ4 この写像族は、ランク1凸性から擬凸性への含意の反例として機能できるか？

主な発見

• τが小さい場合、構成された写像は層化によって実現できないため、擬凸性に対する構造的障害が存在する。
• 写像の非層化的性質は、それらが擬凸でない可能性があるという間接的証拠を提供する。
• 結果は、2次元においてランク1凸性が擬凸性を意味しないという考えを支持する。
• これらの発見は、モリィの予想がすべてのケースで真である可能性を強化する。