[論文レビュー] Some exact results for generalized Tur\'an problems

Dániel Gerbner, Cory Palmer|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 22被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、与えられたグラフ $H$ のコピー数を最大化する $F$-自由グラフにおいて、一般化されたトーラン問題に対して正確な結果を確立する。具体的には、トーラングラフ $T_{k-1}(n)$ が最大となる条件を同定する。特定の禁止グラフ $F$（例えば、完全グラフや非完全グラフ $F_2$（1つの頂点を共有する2つの三角形））に対して、完全多部グラフ、パス $P_3$、$P_4$、サイクル $C_4$ などのグラフが $F$-トーラン良い（$F$-Turán-good）ことを証明する。主な貢献は、一般化されたトーラン設定において、トーラングラフが極値をとるような $H$ の体系的な特徴付けである。

ABSTRACT

Fix a $k$-chromatic graph $F$. In this paper we consider the question to determine for which graphs $H$ does the Tur\\'an graph $T_{k-1}(n)$ have the maximum number of copies of $H$ among all $n$-vertex $F$-free graphs (for $n$ large enough). We say that such a graph $H$ is $F$-Tur\\'an-good. In addition to some general results, we give (among others) the following concrete results: (i) For every complete multipartite graph $H$, there is $k$ large enough such that $H$ is $K_k$-Tur\\'an-good. (ii) The path $P_3$ is $F$-Tur\\'an-good for $F$ with $\\chi(F) \\geq 4$. (iii) The path $P_4$ and cycle $C_4$ are $C_5$-Tur\\'an-good. (iv) The cycle $C_4$ is $F_2$-Tur\\'an-good where $F_2$ is the graph of two triangles sharing exactly one vertex.

研究の動機と目的

• 禁止グラフ $F$ が $k$-彩色可能であるとき、$n$ 頂点の $F$-自由グラフの中で、トーラングラフ $T_{k-1}(n)$ が与えられたグラフ $H$ のコピー数を最大にするような $H$ を特定すること。
• $H$ が $F$-トーラン良い（すなわち、すべての十分に大きな $n$ に対して $\mathrm{ex}(n,H,F) = \mathcal{N}(H,T_{k-1}(n))$）となる条件を確立すること。
• 完全グラフに限らない一般化されたトーラン問題の既知の結果を、$F_2$（1つの頂点を共有する2つの三角形）のような非完全グラフを含む禁止グラフへと拡張すること。
• 彩色数に関するさまざまな条件の下で、パス、サイクル、完全多部グラフを含む、$H$ が $F$-トーラン良い条件を正確に特徴付けること。

提案手法

• 一般化されたトーラン関数 $\mathrm{ex}(n,H,F)$ を、$n$ 頂点の $F$-自由グラフの中で $H$ のコピー数の最大値として定義する。
• $F$-トーラン良いグラフの概念を導入する：$H$ が $F$-トーラン良いとは、すべての十分に大きな $n$ に対して $\mathrm{ex}(n,H,F) = \mathcal{N}(H,T_{k-1}(n))$ が成り立つことである。
• 極値グラフ論の技法を用いる。特に、$F$-自由グラフの安定性および構造定理を活用し、シモノビッチの色臨界エッジ定理を応用する。
• 最適化の議論とエッジの追加・削除戦略を用いて、$F_2$-自由グラフにおける $C_4$ のコピー数を評価し、$C_4$ が $F_2$-トーラン良いことを証明する。
• エッジが $K_4$ に属するかどうかに応じて、$C_4$ のコピーへの寄与を近接領域と禁止部分グラフの制約に基づいて分析し、場合分けを行う。
• 既知の $K_r$-自由グラフに関する結果を一般化し、再帰的分解とクリーク構造条件を用いて、より一般的な $H$ へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフ $H$ に対して、トーラングラフ $T_{k-1}(n)$ がすべての $n$ 頂点の $F$-自由グラフ $G$ に対して $\mathcal{N}(H,G)$ を最大化する唯一の極値グラフとなるか？
• RQ2 $F$ が完全グラフでない場合を含め、$F$ と $H$ にどのような条件を課すと $H$ が $F$-トーラン良いか？
• RQ3 $F_2$ が1つの頂点を共有する2つの三角形からなるグラフであるとき、サイクル $C_4$ は $F_2$-トーラン良いか？
• RQ4 十分に大きな $k$ に対して、すべての完全多部グラフ $H$ は $K_k$-トーラン良いか？
• RQ5 彩色数が4以上、または奇サイクルである $F$ に対して、パス $P_l$ および偶サイクル $C_{2l}$ は $F$-トーラン良いか？

主な発見

• すべての完全多部グラフ $H$ に対して、十分に大きな $k$ が存在し、$H$ は $K_k$-トーラン良い。
• パス $P_3$ は、$\chi(F) \geq 4$ である任意の $F$ に対して $F$-トーラン良い。
• パス $P_4$ およびサイクル $C_4$ は $C_5$-トーラン良いであり、$T_4(n)$ が $C_5$-自由グラフにおいてそれらのコピー数を最大化する。
• サイクル $C_4$ は $F_2$-トーラン良いであり、$\mathrm{ex}(n,C_4,F_2) = \mathcal{N}(C_4,T_2(n))$ が成り立つ。
• 十分に大きな $n$ に対して、$F_2$-自由グラフにおける $C_4$ の極値グラフは $T_2(n)$ に限られ、これは定理17による構造的制約によるものである。
• 任意の $F_2$-自由グラフ $G$ に対して、$C_4$ のコピー数は $\mathcal{N}(C_4,T_2(n))$ 以下であり、等号成立は $G$ が $C_4$ を含まない1つの追加エッジを除いてトーラングラフである場合に限る。