[論文レビュー] Some exact solutions for the rotational flow of a generalized second grade fluid between two circular cylinders

Amir Mahmood, Saif Ullah+1 more|ArXiv.org|Mar 29, 2008

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ラプラス変換およびハンケル変換を用いて、一般化された第二種一般化流体の同心円シリンダー間の回転流の正確な解析解を導出する。主な貢献は、分数階数βに依存する速度およびせん断応力プロファイルの導出であり、βの値が小さいほど境界付近で流体の速度が向上することが示され、β = 1 または α = 0 のとき、解は第二種一般化流体およびニュートン流体の解に還元される。

ABSTRACT

The velocity field and the associated tangential stress corresponding to flow of a generalized second grade fluid between two infinite coaxial circular cylinders, are determined by means of the Laplace and Hankel transforms. At time $t=0$ the fluid is at rest and at $t=0^+$ cylinders suddenly begin to rotate about their common axis with a constant angular acceleration. The solutions that have been obtained satisfy the governing differential equations and all imposed initial and boundary conditions. The similar solutions for a second grade fluid and Newtonian fluid are recovered from our general solutions. The influence of the fractional coefficient on the velocity of the fluid is also analyzed by graphical illustrations.

研究の動機と目的

• 2つの共軸シリンダー間の一般化第二種一般化流体の回転流における速度場およびせん断応力の正確な解析解を導出すること。
• 分数階微分の次数βが粘弾性流体の力学的挙動に与える影響を調査すること。
• β = 1 または α = 0 のとき、古典的第二種一般化流体およびニュートン流体の解が特殊ケースとして回復されることを確認すること。
• 一定の角加速度を伴う急激な回転条件下での流体の過渡的挙動を分析すること。
• 分数的構成方程式を用いた複雑な流れの応用的挙動をモデル化するためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 流体の運動を記述する時間分数階偏微分方程式を解くために、ラプラス変換およびハンケル変換を用いる。
• 応力-ひずみ関係における粘弾性記憶効果を表現するために、リーマン＝リウヴィル分数階微分作用素 D_t^β を用いる。
• 解を閉形式の積分および級数形で表現するために、一般化されたG関数表現を適用する。
• ベッセル関数の直交性を用いて、ラプラス変換およびハンケル変換の逆変換により速度場およびせん断応力場を導出する。
• 固有値問題を解き、超越方程式 B_1(R_1 r_n) = 0 から根 r_n を決定する。
• β = 1 または α = 0 のとき、第二種一般化流体およびニュートン流体の既知の結果が回復されることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構成方程式における分数階数βが、円筒コウエット流れにおける一般化第二種一般化流体の過渡的速度プロファイルに与える影響は何か？
• RQ2 時間依存の角加速度を伴う2つの同心円シリンダー間の一般化第二種一般化流体の回転流において、速度場およびせん断応力の正確な解析的表現は何か？
• RQ3 特定のパrameterの極限において、一般化第二種一般化流体の解が第二種一般化流体およびニュートン流体の解にどの程度還元されるか？
• RQ4 分数パrameter βが、時間経過および半径方向全域における速度プロファイルの発展に与える影響は何か？
• RQ5 半径方向の位置および境界条件が、急激な回転条件下での流体の過渡応答をどのように規定するか？

主な発見

• 分数階数βが小さくなるほど速度場が増加し、特にシリンダー境界付近で顕著な増幅が観察される。
• 同様の境界条件下で、一般化第二種一般化流体は第二種一般化流体およびニュートン流体よりも速く流れることを示す。特にβが小さい場合に顕著である。
• β = 1 のとき、解は古典的第二種一般化流体の解に還元され、β = 1 かつ α = 0 のとき、ニュートン流体の解に還元される。
• 流体の過渡的挙動は、νr_n²t / (1 + αr_n²) を含む指数的減衰項によって支配され、これは径方向モードおよび流体パラメータに依存する緩和ダイナミクスを示している。
• 数値的図示により、βの影響が内側および外側のシリンダー付近で最も強く、βが小さいと勾配が急峻な速度プロファイルが得られることが確認された。
• 導出された解はすべて t > 0 に対して有効であり、急激な回転開始に伴う一定の角加速度を伴うすべての初期および境界条件を満たしている。