[論文レビュー] Some examples of compact composition operators on $H^2$

Pascal Lefèvre, Daniel Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2008

Holomorphic and Operator Theory被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Hardy空間 $H^2$ 上の合成作用素の明示的例を構築し、その符号の境界における絶対値が同じでも、コンパクト性およびSchattenクラス $S_p$ への属するかどうかが決定されないことを示す。Lueckingの基準およびCarleson関数の解析を用いて、境界絶対値が同一である二つの符号が、一方は非コンパクト作用素、他方はすべての $p>2$ に対して $S_p$ に属する作用素をもたらす例を構成し、長年の疑問であるこれらの性質の非同値性を解消する。

ABSTRACT

To appear in J. Functional Analysis

研究の動機と目的

• 符号の境界における絶対値が同一であるが、コンパクト性およびSchattenクラスへの属性が決定されない、$H^2$ 上の合成作用素の明示的かつ具体的な例を提供すること。
• $H^2$ 上にコンパクトな合成作用素が存在し、かつすべての $p<\infty$ に対して $S_p$ に属さないかどうかという、長年の未解決問題を解消すること。
• すべての $p>2$ に対して、境界絶対値が同一である符号が存在し、そのうち一方は非コンパクト作用素を、他方は $S_p$ に属する作用素を生成することを示すこと。
• Lueckingの基準を用いて、符号のCarleson関数とSchattenクラスへの属性の関係をより精緻に理解すること。

提案手法

• Schattenクラスへの属性を判定するLueckingの基準を用い、符号の境界値のレベル集合の測度が作用素のSchattenクラス特性と関係することを示す。
• 符号が誘導するプルバック測度 $m_\phi$ の分布を定量化するため、Carleson関数 $\rho_\phi(h)$ を用いる。
• 複素解析的手法を用いて、特異なネイマン関数および境界付近での実部・虚部が制御された関数を用いて、明示的な符号 $\phi$ を構成する。
• 関数 $\mathfrak{Re}\,f(it)$ および $\mathfrak{Im}\,f(it)$ の漸近的推定を用い、$\rho_\phi(h)$ の成長率、特に $\rho_\phi(h) \approx h / \log\log(1/h)$ を導出する。
• 補間および測度論的推定を用いて、Lueckingの基準における和が発散することを確認し、$S_p$ への非属性を証明する。
• 符号 $\phi$ を特異なネイマン関数 $M$ で乗じることで、$|\phi^*| = |\psi^*|$ であるが、Carleson関数の性質が異なる符号 $\psi = \phi M$ を構成し、境界絶対値を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $H^2$ 上の二つの合成作用素が、$\partial\mathbb{D}$ 上で同じ絶対値を持つ符号をもつ場合でも、コンパクト性およびSchattenクラスへの属性が異なることはあり得るか？
• RQ2 すべての $p<\infty$ に対して $S_p$ に属さないコンパクトな合成作用素を、$H^2$ 上に構成することは可能か？
• RQ3 すべての $p>2$ に対して、境界絶対値が同一である符号が存在し、そのうち一方は非コンパクト作用素、他方は $S_p$ に属する作用素を生成するか？
• RQ4 Carleson関数 $\rho_\phi$ は、$S_p$ への属性を正確に特徴づけることができるか？

主な発見

• すべての $p>2$ に対して、$\partial\mathbb{D}$ 上で $|\phi_1^*| = |\phi_2^*|$ である符号 $\phi_1$ および $\phi_2$ が存在し、$C_{\phi_1}$ はコンパクトでないが、$C_{\phi_2} \in S_p$ である。
• すべての $p<\infty$ に対して $S_p$ に属さないコンパクトな合成作用素 $C_\phi$ が存在し、これは長年の未解決問題を確認する。
• 符号 $\phi$ は $\rho_\phi(h) \approx h / \log\log(1/h)$ を満たし、これはコンパクト性を示唆するが、すべての $p>0$ に対してLueckingの基準を満たさないため、$C_\phi \notin S_p$ である。
• 符号 $\phi$ を特異なネイマン関数 $M$ で乗じて得られる新しい符号 $\psi = \phi M$ に対しては $\rho_\psi(h) \approx h^2 \log(1/h)$ が成り立ち、これによりすべての $p>2$ に対して $C_\psi \in S_p$ が保証される。
• 例により、$C_\phi$ はコンパクトであるがすべての $p<\infty$ に対して $S_p$ に属さない一方、$C_\psi$ はすべての $p>2$ に対して $S_p$ に属するが、$|\phi^*| = |\psi^*|$ であることが示された。
• 結果として、$\rho_\phi$ の成長度が $S_p$ への属性を特徴づけるには十分でないことが示されたが、Proposition 3.4 および Corollary 3.2 を用いて、必要十分条件が与えられた。