[論文レビュー] Some Examples of Gorenstein Liaison in Codimension Three

Robin Hartshorne|ArXiv.org|Mar 22, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 44

ひとこと要約

本稿は、codimension 3 における Gorenstein リンクを調査するために、ℙ³ における点や ℙ⁴ における曲線の例を構成し、すべての整数的 Cohen-Macaulay (ACM) 構造が complete intersection に Gorenstein リンク可能（glicci）であるかどうかを検証する。19点以下の点集合は glicci であるが、20点の集合は glicci とは限らないことが示され、ℙ⁴ における一般の (11,7) 曲線（Rao モジュールが k）は、2本のねじれ線の Gorenstein リンク類に属さない可能性があり、これは高次元のリンクリング理論におけるより広範な予想に対する反例の可能性を示唆する。

ABSTRACT

Gorenstein liaison seems to be the natural notion to generalize to higher codimension the well-known results about liaison of varieties of codimension~2 in projective space. In this paper we study points in ${\mathbb P}^3$ and curves in ${\mathbb P}^4$ in an attempt to see how far typical codimension~2 results will extend. While the results are satisfactory for small degree, we find in each case examples where we cannot decide the outcome. These examples are candidates for counterexamples to the hoped-for extensions of codimension~2 theorems.

研究の動機と目的

• codimension ≥3 におけるすべての整数的 Cohen-Macaulay (ACM) 構造が、complete intersection に Gorenstein 構造を介してリンク可能（glicci）であるかどうかを検証すること。
• ACM 構造をより単純なものへとリンクする上昇 Gorenstein バイリャソンの有効範囲を、特に ℙ³ および ℙ⁴ において調査すること。
• すべての ACM 構造が glicci であるという予想に対する反例を特定すること、特に高次元の構成において。
• ℙ⁴ における Rao モジュールが k である曲線の構造を分析し、そのリンクリング類および上昇 Gorenstein バイリャソンによる到達可能性に焦点を当てる。
• ℙ⁴ における一般の ACM 曲線（次数 20、種数 26）が、直線から上昇 Gorenstein バイリャソンによって得られるか、まったく glicci でないかを特定すること。

提案手法

• 平面または二次曲面に存在する ℙ³ における点の例を構成し、上昇 Gorenstein バイリャソンの系列を用いてそれらが glicci であることを示す。
• ℙ⁴ における次数 11、種数 7 の曲線をパラメトライズするための Bordiga 表面を用い、Riemann–Roch の定理とコhomological 評価を用いて線形系統 |C| の次元を計算する。
• 半連続性および変形理論を適用し、ℙ⁴ における一般の (11,7) 曲線が次数 2 で Rao モジュールが k であることを示し、家族 ℳ₂ に属することを示す。
• Bordiga 表面上の曲線の自己交点 C² を分析し、|C| の次元を抑え、一般の (11,7) 曲線がこのような表面に存在しないことを示す。
• 正確な系列 0 → 𝒪_S → 𝒪_S(C) → 𝒪_C(C) → 0 を用いて h⁰(𝒪_C(C)) を計算し、この構成によって得られる曲線の数を推定する。
• ℙ⁴ における曲線のコホモロジー h¹(ℐ_C(n)) を評価し、Rao モジュールを決定し、リンクリング行動を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℙ³ における一般位置の 20 点集合はすべて glicci であるか、それともすべての ACM 構造が glicci であるという予想に対する反例であるか？
• RQ2 ℙ⁴ における一般の ACM 曲線（次数 20、種数 26）は、直線から上昇 Gorenstein バイリャソンによって得られるか？
• RQ3 ℙ⁴ における一般の (11,7) 曲線（Rao モジュールが次数 2 で k）は、2本のねじれ線の Gorenstein リンク類に属するか、それとも最小曲線から上昇 Gorenstein バイリャソンによって到達可能でないか？
• RQ4 すべての次数 ≥2 に対して、ℙ⁴ に Rao モジュールが k である最小曲線が存在するか、そしてすべてのこのような曲線が最小曲線から上昇 Gorenstein バイリャソンによって到達可能であるか？
• RQ5 Rao モジュールが k であるが、2本のねじれ線の Gorenstein リンク類に属するが、最小曲線から上昇 Gorenstein バイリャソンによって到達できない曲線は存在するか？

主な発見

• ℙ³ における一般位置の n ≤ 19 点の集合は、単一の点から上昇 Gorenstein バイリャソンの系列を経て glicci である。
• ℙ³ における一般位置の 20 点の集合は、glicci であるとは確認されておらず、すべての ACM 構造が glicci であるという予想に対する候補反例である。
• ℙ⁴ における次数 ≤9 または次数 10 で種数 6 のすべての ACM 曲線は glicci であり、特定のクラスの行列式曲線についても同様である。
• ℙ⁴ における一般の (11,7) 曲線は、次数 2 で Rao モジュールが k であり、任意の Bordiga 表面に存在しない。これは、直線から上昇 Gorenstein バイリャソンによって得られないことを示唆する。
• ℙ⁴ における一般の (11,7) 曲線は、2本のねじれ線の Gorenstein リンク類に属するとは予想されず、最小曲線から上昇 Gorenstein バイリャソンによって到達可能でもない。これは、glicci でない可能性を示唆する。
• 例 4.6 は、Rao モジュールが k である滑らかな (10,6) 曲線を示しており、これは最小曲線の Gorenstein リンク類に属するが、最小曲線から上昇 Gorenstein バイリャソンによって到達できない。