[論文レビュー] Some exotic nontrivial elements of the rational homotopy groups of $\mathrm{Diff}(S^4)$

Tadayuki Watanabe|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、コンツェビッチの特徴類と三valentグラフの高次元版であるクラッパー同相の類似を用いて、$ olimits\pi_*(\mathrm{Diff}(S^4)) \otimes \mathbb{Q}$ における非自明な有理ホモトピー類を構成する。4次元のスマール予想が成り立たないことを示すために、$ olimits\mathrm{Diff}(D^4,\partial)$ がコンパクトでないことを証明し、グラフに基づくファイバー束と配置空間積分によって非自明な有理ホモトピー群を検出する。

ABSTRACT

This paper studies the rational homotopy groups of the group $\mathrm{Diff}(S^4)$ of self-diffeomorphisms of $S^4$ with the $C^\infty$-topology. We present a method to prove that there are many `exotic' non-trivial elements in $π_*\mathrm{Diff}(S^4)\otimes \mathbb{Q}$ parametrized by trivalent graphs. As a corollary of the main result, the 4-dimensional Smale conjecture is disproved. The proof utilizes Kontsevich's characteristic classes for smooth disk bundles and a version of clasper surgery for families. In fact, these are analogues of Chern--Simons perturbation theory in 3-dimension and clasper theory due to Goussarov and Habiro.

研究の動機と目的

• 有理ホモトピー群 $ olimits\pi_*\mathrm{Diff}(S^4) \otimes \mathbb{Q}$ を特定すること、特に $O_5$ に由来しない非自明な要素を同定すること。
• 4次元スマール予想、すなわち $\mathrm{Diff}(S^4) \simeq O_5$ が成り立つかどうかを否定すること。
• 三valentグラフとファイバー束構成を用いて、$\pi_*\mathrm{Diff}(D^4,\partial) \otimes \mathbb{Q}$ における明示的な非自明な要素を構成すること。
• $\mathrm{Diff}(D^4,\partial)$ がコンパクトでないことを確立し、4次元におけるスマール予想の失敗を示すこと。
• グラフ的不変量を用いて、特に $S^2$ 上の滑らかだが非自明な $D^4$-バンドルの存在を示すこと。

提案手法

• 滑らかなディスクバンドルのためのコンツェビッチの特徴類を用い、配置空間積分とグラフ複体によって定義される。
• ゴウサロフ–ハビロ理論とチェーン–シモンズ摂動理論にインspiredされた、家族に対する高次元版クラッパー同相の類似を適用する。
• 三valentグラフから $v$-勾配データと横断性の議論を用いて、$S^k$ 上の明示的な $D^4$-バンドルを構成する。
• サード–スメールの定理とフレドホルム理論を用いて、解のモジュライ空間上の評価写像が横断的であり、有限個の点からなる0次元多様体を導くことを示す。
• 配置空間における射影写像から生じるフレドホルム作用素のインデックスを解析し、不変量が正しく定義されるためにその値が0に等しいことを示す。
• 摂動技法を用いて $C^r$ 級切断を $C^\infty$ 級に近似しながら横断性を保ち、モジュライ空間がコンパクトかつ有限であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $O_5$ に由来するもの以外に、$\pi_*\mathrm{Diff}(S^4) \otimes \mathbb{Q}$ に非自明な有理ホモトピー類は存在するか？
• RQ2 4次元スマール予想は成り立つか、すなわち $\mathrm{Diff}(D^4,\partial)$ はコンパクトか？
• RQ3 コンツェビッチの特徴類は、グラフに基づく構成を用いて $\pi_*\mathrm{Diff}(D^4,\partial) \otimes \mathbb{Q}$ の非自明な要素を検出できるか？
• RQ4 トポロジカルには自明だが滑らかさでは非自明な $D^4$-バンドルが $S^k$ 上に存在するか？
• RQ5 $\mathbb{R}^4$ 上の無限遠で標準的なシンプレクティック構造を持つ空間 $\mathit{Sympl}$ はコンパクトか？

主な発見

• $S^k$ 上の $D^4$-バンドルへのコンツェビッチの特徴類の評価は、$\pi_k B\mathrm{Diff}(D^4,\partial) \otimes \mathbb{Q}$ から三valent図形の空間 $\mathscr{A}_k$ へのエピモルフィズムを誘導する。
• $k=2$ のとき、$\mathscr{A}_2 \cong \mathbb{Q}$ であるので、$\pi_2 B\mathrm{Diff}(D^4,\partial) \otimes \mathbb{Q} \neq 0$ であり、第二ホモトピー群における非自明性が証明される。
• 4次元スマール予想は否定された：$\mathrm{Diff}(S^4) \not\simeq O_5$。
• $S^2$ 上に、トポロジカルには自明だが滑らかさでは非自明な $D^4$-バンドルが存在する。これはカーバーの問題4.122に答えている。
• $\mathbb{R}^4$ 上の無限遠で標準的なシンプレクティック構造を持つ空間 $\mathit{Sympl}$ はコンパクトでない。これはカーバーの問題4.141を解決する。
• $D^3$ の擬等長空間 $\mathscr{C}(D^3)$ はコンパクトでない。これは、$D^3$ の擬等長と同相が等しくないことを示している。