[論文レビュー] Some extensions of Hilbert-Kunz multiplicity

Neil Epstein, Yongwei Yao|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2011

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、素性数の環におけるネストされたイデアルまたは部分加群が同じタイト閉包を持つための数値的条件を導くために、ヒルベルト＝クンズ多重度を拡張する。0次の局所コホホロジーと一般化された j-多重度に基づく相対的測度を導入することで、フロベニウス巾の長さの liminf および limsup の極限を用いた、タイト閉包の等価性に関する十分条件、および一部の状況では必要十分条件を確立する。主な結果として、F-正則性と被約性の仮定の下で等価性が成り立つことが示される。

ABSTRACT

Let $R$ be an excellent Noetherian ring of prime characteristic. Consider an arbitrary nested pair of ideals (or more generally, a nested pair of submodules of a fixed finite module). We do \emph{not} assume that their quotient has finite length. In this paper, we develop various sufficient numerical criteria for when the tight closures of these ideals (or submodules) match. For some of the criteria we only prove sufficiency, while some are shown to be equivalent to the tight closures matching. We compare the various numerical measures (in some cases demonstrating that the different measures give truly different numerical results) and explore special cases where equivalence with matching tight closure can be shown. All of our measures derive ultimately from Hilbert-Kunz multiplicity.

研究の動機と目的

• 任意のネストされたイデアルまたは部分加群のペアに対して、その商が有限長でない場合でさえも、ヒルベルト＝クンズ多重度を相対的設定に一般化すること。
• ヒルベルト＝クンズ理論と j-多重度から導かれる数値的不変量を構成し、タイト閉包の等価性を検出すること。
• フロベニウス巾の長さの極限を用いて、タイト閉包の等価性に関する十分条件、および特別な場合には必要十分条件を確立すること。
• タイト閉包と局所化の関係、特に数値的消失条件の文脈における関係を調査すること。
• 局所化された数値的不変量を用いて、すべての素イデアルを通じてタイト閉包の等価性を保証するグローバルな基準を提供すること。

提案手法

• ヒルベルト＝クンズ多重度を一般化する、新たな相対的不変量 $ u_N(L,M) $ を定義。これは $ \lambda(H^0_{\mathfrak{m}}(M^{[q]}_N / L^{[q]}_N)) / q^d $ の極限に基づく。
• フロベニウス巾の漸近的挙動を分析するため、limsup および liminf の変種 $ u^+_N(L,M) $ と $ u^-_N(L,M) $ を導入する。
• 0次の局所コホホロジー加群を含む完全列を用いて、商 $ I^{[q]}/J^{[q]} $ の長さを評価し、$ f_n(I) $ および $ f_n(J) $ を含む不等式を導出する。
• ネイキヤマの補題のタイト閉包版を適用し、局所コホホロジーに依存しないタイト閉包の等価性の基準を導出する。
• 第7節で j-多重度にインspiredされた不変量を構成し、商が有限長であるイデアルのタイト閉包の等価性を特徴付ける。
• 完全化の F-正則性および被約性の仮定を用いて、素イデアルでの局所化によりグローバルな等価性の結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノエター局所環の素性数の下で、ネストされた部分加群 $ L \subseteq M \subseteq N $ に対して、$ M \subseteq L^*_N $ が成り立つ数値的条件は何か？
• RQ2 正規化された長さ $ M^{[q]}_N / L^{[q]}_N $ の liminf が、タイト閉包の等価性の必要十分条件として用いられるか？
• RQ3 局所コホホロジー、j-多重度、フロベニウス巾から導かれる異なる数値的不変量は、タイト閉包の等価性を検出する上でどのように比較できるか？
• RQ4 グローバルな数値的不変量 $ f^{-}(J_{\mathfrak{p}}, I_{\mathfrak{p}}) $ の消失が、すべての局所化においてタイト閉包の等価性を意味する場合とはどのような状況か？
• RQ5 タイト閉包が局所化と可換でない場合、これらの数値的基準がどれほど等価性を保つのか？

主な発見

• 完全に安定な弱テスト元と被約完全化の仮定の下で、相対的ヒルベルト＝クンズ測度の liminf バージョン $ u^-_N(L,M) $ が 0 であることは、$ M \subseteq L^*_N $ と同値である。
• 商 $ \lambda(I/J) < \infty $ のイデアル $ J \subseteq I $ に対して、$ \liminf_{n \to \infty} \frac{\lambda(I^{[p^n]}/J^{[p^n]})}{p^{nd}} = 0 $ であることは、$ I^* = J^* $ と同値であり、ホッチャー＝フーンケの結果を一般化する。
• F-正則性および被約性の仮定の下で、すべての素イデアル $ \mathfrak{p} $ に対して $ f^{-}(J_{\mathfrak{p}}, I_{\mathfrak{p}}) \leq 0 $ ならば、すべての極大イデアル $ \mathfrak{m} $ に対して $ (I_{\mathfrak{m}})^* = (J_{\mathfrak{m}})^* $ が成り立つ。
• 第7節の j-多重度にインスパイアされた不変量は、$ \lambda(I/J) < \infty $ の場合にタイト閉包の等価性の必要十分条件を提供し、他の数値的測度とは異なる。
• 著者らは、j-多重度型不変量と局所コホホロジーに基づく不変量が一般に異なることを示し、異なる数値的不変量が異なる結果をもたらす可能性があることを示している。
• 真のスペクトル上で F-正則な環の場合、すべての $ \mathfrak{p} $ に対して $ f^{-}(J_{\mathfrak{p}}, I_{\mathfrak{p}}) \leq 0 $ であることは、すべての局所化においてタイト閉包の等価性と同値である。