[論文レビュー] Some Extensions of the Inversion Complexity of Boolean Functions

V. V. Kochergin, A. V. Mikhailovich|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2015

Machine Learning and Algorithms参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、マーコフの古典的定理である反転複雑度に関する拡張を提示している。任意の単調関数と有限個の非単調関数からなる基底に関して、関数を計算するために必要な非単調ゲートの最小数は、d(F) が増加列における値の減少回数の最大値であるとき、⌈log₂(d(F)+1)⌉ − c(B) と ⌈log₂(d(F)+1)⌉ の間に厳密に束縛される。ここで c(B) は基底に依存する定数である。この結果により、非単調ゲートの複雑度が NOT ゲートよりも高い場合であっても、マーコフの境界がほぼタイトに保たれることを示している。

ABSTRACT

The minimum number of NOT gates in a Boolean circuit computing a Boolean function is called the inversion complexity of the function. In 1957, A. A. Markov determined the inversion complexity of every Boolean function and proved that $\lceil\log_{2}(d(f)+1) ceil$ NOT gates are necessary and sufficient to compute any Boolean function $f$ (where $d(f)$ is maximum number of value changes from 1 to 0 over all increasing chains of tuples of variables values). In this paper we consider Boolean circuits over an arbitrary basis that consists of all monotone functions (with zero weight) and finite nonempty set of non-monotone functions (with unit weight). It is shown that the minimal sufficient for a realization of the Boolean function $f$ number of non-monotone gates is equal to $\lceil\log_{2}(d(f)+1) ceil - O(1)$. Similar extends of another classical result of A. A. Markov for the inversion complexity of system of Boolean functions has been obtained.

研究の動機と目的

• 1957年のマーコフの反転複雑度に関する結果を、単調関数および非単調関数を含む任意の基底へ一般化すること。
• d(ωᵢ) > 1 を満たす非単調ゲートの存在が、ブール関数の反転複雑度に与える影響を特定すること。
• 任意のブール関数または関数系を計算するために必要な非単調ゲート数のタイトな下界および上界を確立すること。
• 一部の非単調ゲートがより高い複雑度を持つ場合であっても、反転複雑度がマーコフの元の境界に漸近的に近いまま保たれることを示すこと。

提案手法

• ブール関数系 F の減少度 d(F) を、入力タプルの増加列上での値の減少（ジャンプ）回数の最大値として定義する。
• 基底 B = M ∪ {ω₁, ..., ωₚ} に基づく回路をモデル化する。ここで M は単調関数の集合（重み 0）であり、非単調関数 ωᵢ（重み 1）である。
• 回路の複雑度に関する帰納法を用いて、d(F) ≤ (2r(B) + 1)(2^{I_B(F)} − 1) を証明する。ここで r(B) = max{d(ωᵢ)} はすべての非単調ゲートにおける d(ωᵢ) の最大値である。
• 不等式を逆にすることで I_B(F) の下界を導出し、I_B(F) ≥ ⌈log₂(d(F)+1)⌉ − c(B) を得る。ここで c(B) = log₂(2r(B) + 1) + 1 である。
• 任意の NOT ゲートが定数置換を用いて非単調関数によってシミュレート可能であるという事実を用い、上界 I_B(F) ≤ ⌈log₂(d(F)+1)⌉ が保たれることを示す。
• 導出された下界と既知の上界を組み合わせることで、最終的な結果を確立し、c(B) の加法的定数の範囲内でタイトであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーコフの反転複雑度境界は、d(ωᵢ) > 1 を満たす非単調関数を含む任意の基底へ拡張可能か？
• RQ2 高 jump 複雑度を持つ非単調ゲートの存在が、関数を計算するために必要な最小の非単調ゲート数に与える影響は何か？
• RQ3 非単調ゲートが単純な否定でない場合でも、元のマーコフ境界 ⌈log₂(d(F)+1)⌉ は漸近的に有効か？
• RQ4 任意の基底 B に対して、反転複雑度がマーコフの境界から c(B) 以内に収まるような最適な加法的定数 c(B) は何か？
• RQ5 基底に複雑な挙動を示す非単調関数が含まれる場合でも、d(F) は依然として反転複雑度を完全に特徴づけるか？

主な発見

• 任意の完全基底 B = M ∪ {ω₁, ..., ωₚ} に対して、ブール関数系 F の反転複雑度 I_B(F) は、⌈log₂(d(F)+1)⌉ − c(B) ≤ I_B(F) ≤ ⌈log₂(d(F)+1)⌉ を満たす。ここで c(B) = log₂(2r(B) + 1) + 1 であり、r(B) = max{d(ωᵢ)} である。
• 上界 I_B(F) ≤ ⌈log₂(d(F)+1)⌉ は、任意の非単調関数を用いた定数置換により NOT ゲートをシミュレート可能であるという事実に起因する。
• 下界は回路複雑度に関する帰納法により導出され、d(F) が I_B(F) に対して指数関数的にしか増加しないことが示され、基底関数の最大ジャンプ複雑度 r(B) に制限される。
• この結果により、非単調ゲートが d(ωᵢ) > 1（例：XOR に類似した関数）であっても、反転複雑度がマーコフの元の境界から定数加法的要因の範囲内に保たれることを示している。
• 定数 c(B) は、非単調関数の数やその具体的な同定には依存せず、基底内の非単調関数の最大ジャンプ複雑度 r(B) のみに依存する。
• 境界は加法的定数の範囲でタイトである：任意の基底 B に対して、下界に達する関数が存在し、c(B) を一般に改善できないことを示している。