[論文レビュー] Some families of generalized Mathieu-type power series, associated probability distributions and related functional inequalities involving complete monotonicity and log-convexity

Živorad Tomovski, Khaled Mehrez|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2016

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、積分表現を伴う一般化されたマチエ型のべき級数を導入し、関連する確率分布、特性関数、モーメントを導出する。完全モーナル性および対数凸性の性質を確立し、それらから新たな関数不等式、特にツァラン型および指数型の境界を導出する。主な結果として、リーマンゼータ関数およびディーリッチ＝レルヒゼータ関数を含む明示的な不等式が得られる。

ABSTRACT

By making use of the familiar Mathieu series and its generalizations, the authors derive a number of new integral representations and present a systematic study of probability density functions and probability distributions associated with some generalizations of the Mathieu series. In particular, the mathematical expectation, variance and the characteristic functions, related to the probability density functions of the considered probability distributions are derived. As a consequence, some interesting inequalities involving complete monotonicity and log-convexity are derived.

研究の動機と目的

• 数列 {a_n} およびパラメータ α, β, μ, ν を含む一般化されたマチエ型べき級数の積分表現を開発すること。
• これらの一般化級数に関連する確率密度関数および分布を定義し、それらを分析すること。
• 変数 r における一般化されたマチエ級数の完全モーナル性および対数凸性を調査すること。
• モーナル性および凸性の性質を用いて、ツァラン型および指数型の境界を含む新たな関数不等式を導出すること。
• 補助的なゼータ型級数を用いて、一般化されたマチエ級数の鋭い下界および上界を確立すること。

提案手法

• フォックス＝ライティング関数およびメイジャー G 関数を用いて、一般化されたマチエ級数の積分表現を導出する。
• 正規化された一般化されたマチエ級数に基づく確率密度関数を導入し、そのモーメント、分散、特性関数を計算する。
• 関数 r ↦ S_{μ,ν}^{(α,β)}(√r, a, z) に対する完全モーナル性および対数凸性の概念を適用し、(0, ∞) 上で完全モーナルかつ対数凸であることを証明する。
• 補助的なゼータ型級数 ζ_{μ,ν}(α,β,z) = ∑ (ν)_n z^n / (n! a_n^{αμ−β}) の比を用いて境界を導出する。
• 補題 1（導関数比のモーナル性に関するもの）およびロピタルの定理を用いて指数型下界を導出する。
• 対数完全モーナル関数の超加法性を用いて、ツァラン型連鎖における第二の不等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特殊関数としてのフォックス＝ライティング関数を含む積分形式による一般化されたマチエ型べき級数の表現は、どのように得られるか？
• RQ2 正規化された一般化されたマチエ級数の確率的性質（確率密度関数、モーメント、特性関数）は何か？
• RQ3 一般化されたマチエ級数がパrameter r に関して完全モーナルかつ対数凸となる条件は何か？
• RQ4 モーナル性および凸性から導ける関数不等式（例えばツァラン型や指数型の境界）は何か？
• RQ5 補助的なゼータ型級数 ζ_{μ,ν}(α,β,z) は、一般化されたマチエ級数の境界にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 一般化されたマチエ級数 S_{μ,ν}^{(α,β)}(r, {k^γ}, z) は、条件 γ(μα − β) > 1 の下で、メイジャー G 関数およびフォックス＝ライティング関数を含む積分表現を有する。
• 関数 r ↦ S_{μ,ν}^{(α,β)}(√r, a, z) は (0, ∞) 上で完全モーナルかつ対数凸である。これはツァラン型不等式を満たすことを示唆する。
• すべての r₁, r₂ > 0 に対して不等式 S_{μ,ν}^{(α,β)}(√(r₁+r₂)/2, a, z)^2 ≤ S_{μ,ν}^{(α,β)}(√r₁, a, z) S_{μ,ν}^{(α,β)}(√r₂, a, z) が成り立ち、補助級数 ζ_{μ,ν}(α,β,z) が収束する限り成立する。
• 指数型下界が得られる：S_{μ,ν}^{(α,β)}(r, a, z) ≥ 2ζ_{μ,ν}(α,β,z) exp(−μ ζ_{μ+1,ν}(α,β,z)/ζ_{μ,ν}(α,β,z) r²)。
• 特別な場合 μ=2, r>0 に対して、不等式 2ζ(3) exp(−2ζ(5)/ζ(3) r²) ≤ S(r) が成り立ち、ζ(s) はリーマンゼータ関数である。
• μ=3/2 の場合、すべての r>0 に対して不等式 π²/3 exp(−π²r²/10) ≤ S_{3/2}(r) が確立される。