[論文レビュー] Some formulas for the smallest number of generators for finite direct sums of matrix algebras

Rostyslav Kravchenko, Bogdan V. Petrenko|ArXiv.org|Nov 22, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限体および整数環上の行列代数の有限直積の最小生成数について、正確かつ漸近的な公式を導出する。$ M_2(\mathbb{Z})^k $ に対して、2つの生成元で生成可能な最大の $ k $ は $ g(m) = \frac{16^m - 3\cdot 8^m + 2\cdot 4^m}{6} $ で与えられ、$ g(2) = 16 $ であると示し、このような生成集合が任意の環に基本変換を用いて持ち上げられることを証明する。結果は、非可換多項式表現と中国剰余定理を用いて、無限体上の行列代数の有限直積へと拡張可能である。

ABSTRACT

We obtain an asymptotic upper bound for the smallest number of generators for a finite direct sum of matrix algebras with entries in a finite field. This produces an upper bound for a similar quantity for integer matrix rings. We also obtain an exact formula for the smallest number of generators for a finite direct sum of 2-by-2 matrix algebras with entries in a finite field and as a consequence obtain a formula for a similar quantity for a finite direct sum of 2-by-2 integer matrix rings. We remark that a generating set the ring $\bigoplus_{i=1}^k M_{n_i}(\mathbb{Z})^{n_i}$ may be used as a generating set of any matrix algebra $\bigoplus_{i=1}^k M_{n_i}(R)^{n_i}$ where $R$ is an associative ring with a two-sided 1.

研究の動機と目的

• 有限体および整数環上の行列代数の有限直積の最小生成数を特定すること。
• 整数環上の $ 2\times2 $ 行列環の直積が2つの元で生成可能な数について、正確な公式を確立すること。
• 素数を法とする還元と持ち上げ技術を用いて、有限体からの結果を整数行列環へと拡張すること。
• 非可換多項式表現の文脈において、行列代数の有限直積が2つの生成元をもつための条件を特定すること。

提案手法

• 2つの変数 $ x $ および $ y $ を用いた非可換多項式による $ M_n(F) $ の提示を構成し、$ r_{1,n}, r_{2,n}, s_j $ を含む関係を導入する。
• 自由代数 $ F\{x,y\} $ 内の理想 $ \mathcal{I}_n(a) $ を定義し、$ a \in F $ をパrameterとして行列代数 $ M_n(F) $ に対応させる。
• 中国剰余定理を用いて、異なる $ \mathcal{I}_{m_i}(s_i) $ 理想の共通部分が $ \bigoplus_i M_{m_i}(F)^{\#S_i} $ となることを示す。
• 行列のトレースと冪零性の議論を用いた背理法により、異なるパrameter $ a \neq b $ に対して $ \mathcal{I}_n(a) \neq \mathcal{I}_n(b) $ が成り立つことを証明する。
• ある集合が $ \bigoplus M_n(\mathbb{Z}) $ を生成することと、すべての素数 $ p $ についてその還元が $ \bigoplus M_n(\mathbb{F}_p) $ を生成することとは同値であるという事実を活用する。
• 持ち上げ結果を適用して、$ M_2(\mathbb{Z})^{16} $ の生成集合が任意の環 $ R $ に対して $ M_2(R)^{16} $ の生成集合に拡張可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの元で生成可能な $ M_2(\mathbb{Z}) $ のコピーの最大数は何か？
• RQ2 和の個数が増加するにつれて、$ M_n(\mathbb{F}_q) $ の直積の最小生成数はどのように増加するか？
• RQ3 無限体上の行列代数の有限直積に対して2つの生成元で十分か、どのような条件下で成立するか？
• RQ4 非可換多項式表現および理想が、行列代数の生成集合を構成する際に果たす役割は何か？
• RQ5 整数行列環の生成集合は、素数を法とする還元とどのように関係するか？

主な発見

• 2つの元で生成可能な $ 2\times2 $ 整数行列環 $ M_2(\mathbb{Z}) $ の最大個数は $ g(m) = \frac{16^m - 3\cdot 8^m + 2\cdot 4^m}{6} $ で与えられ、$ g(2) = 16 $ である。
• 17個の $ M_2(\mathbb{Z}) $ の直積は、少なくとも3つの生成元を必要とし、$ k = 17 $ で最小生成数に飛躍が生じることを示している。
• $ M_2(\mathbb{Z})^{16} $ の生成集合は任意の環 $ R $ に持ち上げ可能であるため、$ M_2(R)^{16} $ も $ \mathbb{Z} \to R $ による誘導準同型を介して2つの元で生成可能である。
• 任意の無限体 $ F $ に対して、行列代数の有限直積 $ \bigoplus M_n(F) $ は非可換多項式表現を用いて2つの生成元をもつことが示された。
• $ a $ が異なる限り、$ \mathcal{I}_n(a) \subset F\{x,y\} $ は互いに異なるため、中国剰余定理を用いて行列代数の直積を構成する際に適用可能である。
• 特性が $ |G| $ を割らない代数的に閉じた体 $ F $ 上の群代数 $ FG $ は2つの生成元をもつ。なぜなら $ FG \cong \bigoplus M_n(F)^{k_i} $ であり、この同型は定理 A.1 の構成によって誘導されるからである。