[論文レビュー] Some Fractional Calculus results associated with the $I$-Function

Kuldeep Kumar Kataria, P. Vellaisamy|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Marichev-Saigo-Maeda (MSM) 細分作用素を用いて、一般化された $I$-関数を含む新しい分数級数の結果が導出される。MSM 細分作用素は、Saigo および Erdélyi-Kober 作用素を一般化する。本稿では、$I$-関数の累乗乗数に Caputo 型 MSM 細分微分を適用すると、次数が上昇した別の $I$-関数が得られることを確立しており、既存の文献における結果を一般化する。

ABSTRACT

The effect of Marichev-Saigo-Maeda (MSM) fractional operators involving third Appell function on the $I$ function is studied. It is shown that the order of the $I$-function increases on application of these operators to the power multiple of the $I$-function. The Caputo-type MSM fractional derivatives are introduced and studied for the $I$-function. As special cases, the corresponding assertions for Saigo and Erdélyi-Kober fractional operators are also presented. The results obtained in this paper generalize several known results obtained recently in the literature.

研究の動機と目的

• MSM 作用素を用いて、最も一般化された特殊関数である $I$-関数へと分数級数の結果を拡張すること。
• $I$-関数の累乗乗数に Caputo 型 MSM 細分微分作用素が与える影響を調査すること。
• これらの作用素の適用が $I$-関数の次数を増加させることを示すこと。
• 最近の $H$-、$ar{H}$-、および Meijer G-関数に関する結果を、一つの枠組みで統一・一般化すること。

提案手法

• $I$-関数は、複素数パラメータを有するメリン=バーンズ型の閉曲線積分として表現される。
• MSM 細分積分および微分作用素が、$t^{- ho}I^{m,n}_{p,q}(at^{- u})$ に適用され、第3種アペル関数 $F_3$ がカーネルとして用いられる。
• Caputo 型 MSM 細分微分は、逆 MSM 積分作用素との合成により定義される。
• 結果の式は、メリン変換技術およびガンマ関数の性質を用いて評価される。
• 最終的な結果は、閉曲線積分および留数解析を経て、パラメータが変更された新しい $I$-関数として表現される。
• 特定のパラメータを設定することで、Saigo および Erdélyi-Kober 作用素が回復される特殊ケースが抽出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Marichev-Saigo-Maeda 細分作用素が、$I$-関数の累乗乗数に作用する場合、$I$-関数にどのような影響を与えるか？
• RQ2 $I$-関数の Caputo 型 MSM 細分微分の明示的形は何か？
• RQ3 一般化された $I$-関数は MSM 細分操作の下で保存可能か？ もしそうならば、そのパラメータはどのように変化するか？
• RQ4 導出された結果は、既知の Saigo および Erdélyi-Kober 細分作用素に関する結果をどのように一般化するか？
• RQ5 分数微分後の $I$-関数の収束性および正則性を保証する条件は何か？

主な発見

• 関数 $t^{- ho}I^{m,n}_{p,q}(at^{- u})$ の Caputo 型右片側 MSM 細分微分は、パラメータが変更された新しい $I$-関数 $I^{m,n+3}_{p+3,q+3}$ を生成する。
• 変換により $I$-関数のパラメータ数が増加し、より高次元の一般化が反映される。
• 結果は収束条件の下で正則性が保証されるメリン=バーンズ積分表現を用いて閉形式で表現される。
• 特定のパラメータを設定することで、特殊ケースとして既知の Saigo および Erdélyi-Kober 細分作用素の結果が回復される。
• 導出された公式は、$H$-、$ar{H}$-、および Meijer G-関数に関する以前の結果を一般化し、$I$-関数の枠組みで統一する。
• 得られた $I$-関数におけるパラメータのシフトは、元のパラメータおよび分数階数の関数として明示的に与えられる。