[論文レビュー] Some Fractional Functional Inequalities and Applications to Some Constrained Minimization Problems Involving a Local Non-linearity

Hichem Hajaiej|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、分数階のポlya-シュバーゲー不等式および分数階のガルガリアルド＝ニレングラフ不等式を確立し、それらを用いて分数階ソボレフ空間からルベーグ空間へのコンパクト埋め込みを証明する。これらの結果により、対称減少再配分におけるエネルギー汎関数の有界性および弱下半連続性を確立することで、局所的非線形性を含む制約付き最小化問題における最小化子の存在が保証される。

ABSTRACT

In this paper we prove the Fractional Gagliardo-Nirenberg Inequality, Polya-Szego Inequality and the Sharp Fractional Sobolev Inequality, we then provide an application of such inequalities in a constraiend variational problem involving the fractional gradient and alocal non-linearity

研究の動機と目的

• 0 < s → 0 のとき、対称減少再配分が分数階エネルギーを減少させることを示す分数階ポlya-シュバーゲー不等式を確立すること。
• 埋め込みおよびコンパクト性に関する結果の主要な道具として、分数階ガルガリアルド＝ニレングラフ不等式を導出すること。
• 分数階不等式を用いて、W^{s,p}(\rr^n) から L^q(\rr^n) へのコンパクト埋め込みを証明すること。
• 固定された L^2-ノルムを伴う H^s(\rr^n) における局所的非線形性を含む制約付き最小化問題を分析すること。
• 対称減少再配分および弱下半連続性を用いて、最小化子の存在を示すこと。

提案手法

• フーリエ変換およびベッセル核表現を用いて、分数階ポlya-シュバーゲー不等式を証明し、対称再配分下で \norm{\nabla_s u^*}_{L^2} \to \norm{\nabla_s u}_{L^2} が成り立つことを示すこと。
• 周波数空間における再配分関数と元の関数の比較に、(1 - (1+|\rho|^2)^{-1})^s = 1 - \text{正の級数} の展開を用いること。
• [3,9] に由来する対称化補題を適用し、\norm{G_{2k} * (u^* \tilde{u}^*)}_{L^1} \to \norm{G_{2k} * (u \tilde{u})}_{L^1} を示し、エネルギーの減少を示すこと。
• 補間およびスケーリングを用いて分数階ガルガリアルド＝ニレングラフ不等式を導出し、インデックスが \theta(1/p - s/n) + (1-\theta)/r = 1/q を満たすことを示すこと。
• エネルギー汎関数における非線形項を制御するため、\norm{u}_{L^{l+2}}^2 \to K' c^{4s/n} \norm{\nabla_s u}_{L^2}^2 を用いること。
• 弱下半連続性およびRellich-Kondrachovのコンパクト性を適用し、H^s(\rr^n) 内で最小化列の収束を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0 < s → 1 のとき、対称減少再配分が分数階エネルギーを減少させることを保証する分数階ポlya-シュバーゲー不等式は成立するか？
• RQ2 0 < s < n の場合に、p, q, r, \theta に明示的な依存関係を持つ鋭い分数階ガルガリアルド＝ニレングラフ不等式を導出できるか？
• RQ3 W^{s,p}(\rr^n) \to L^q(\rr^n) の埋め込みがコンパクトであるための条件は何か、特に p=2 かつ q > 2 の場合に当てはまるか？
• RQ4 固定された L^2-ノルムと局所的非線形性を含む制約付き最小化問題において、H^s(\rr^n) 内に最小化子が存在するか？
• RQ5 l > 4s/n のとき、I_c = -\infty となる臨界指数 l は何か、また I_c > -\infty となる条件は何か？

主な発見

• 分数階ポlya-シュバーゲー不等式が成立：\norm{\nabla_s u^*}_{L^2}^2 \to \norm{\nabla_s u}_{L^2}^2 であり、s=0 で等号が成立し、再配分によるエネルギーの減少を示している。
• インデックスが \theta(1/p - s/n) + (1-\theta)/r = 1/q を満たす分数階ガルガリアルド＝ニレングラフ不等式が確立され、1 < p < n/s および 0 < s < n の範囲で有効である。
• Gargliardo-Nirenberg の関係を満たす q および p < n/s の下で、Rellich-Kondrachov の定理を用いて、W^{s,p}(\rr^n) \to L^q(\rr^n) の埋め込みがコンパクトである。
• l \to 4s/n のとき、エネルギー汎関数 E(u) は下から有界であり、すべての最小化列は H^s(\rr^n) 内で有界である。ただし c < (1/(2KK'))^{n/(4s)} を満たす必要がある。
• エネルギーと L^2-ノルムが再配分および弱下半連続性に関して不変であることから、最小化問題はシュワルツ対称最小化子を持つ。
• l > 4s/n のとき、下界が存在しないため、I_c = -\infty となり、最小化子は存在しない。