[論文レビュー] Some fully nonlinear problems on manifolds with boundary of negative admissible curvature

Aobing Li, Huan Zhu|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、境界を有するコンパクトなリーマン多様体上での完全非線形楕円型偏微分方程式の解の存在を確立する。方程式は修正されたショウテンテンソルの固有値を含み、スカラー曲率と平均曲率を同時に指定する。境界付近での計量の共形変換によりリッチ曲率を負に保ち、事前推定と連続性法を用いることで、与えられた境界データを満たす $ C^{4,\beta} $ 共形計量が存在することを証明する。

ABSTRACT

In this paper, we consider a fully nonlinear problem on manifolds with boundaries of negative admissible curvatures. As a consequence, we conclude the existence of certain types of metrics on the general differential manifolds with boundaries.

研究の動機と目的

• 境界を有するコンパクトなリーマン多様体上での完全非線形曲率問題の解の存在を確立すること。この問題ではスカラー曲率と平均曲率が同時に指定される。
• $ t < 1 $ に対して修正されたショウテンテンソル $ A_g^t $ を用いて、境界ヤマベ問題の既存結果を完全非線形設定に拡張すること。
• 境界付近に共形計量を構成し、$ A_g^t $ の負の固有値が与えられた凸錐 $ \Gamma $ に含まれるようにすることで、楕円型性と解の存在を保証すること。
• 任意の滑らかでコンパクトな境界付きリーマン多様体 $ (M^n, g) $ に対して、境界付近に共形計量 $ \tilde{g} $ が存在し、修正されたショウテンテンソルが所定の曲率条件を満たし、平均曲率が制御されることを証明すること。

提案手法

• 修正されたショウテンテンソル $ A_g^t = \frac{1}{n-2}\left(\text{Ric}_g - \frac{tR_g}{2(n-1)}g\right) $ を $ t < 1 $ に対して導入し、古典的ショウテンテンソルを一般化する。
• 境界付近での計量の共形変換により、$ M $ 上で $ \text{Ric}_{g_3} < 0 $ となるようにし、$ t < 1 $ に対して $ -\lambda_{g_3}(A_{g_3}^t) \in \Gamma_n \subset \Gamma $ が成り立つことを保証する。
• 連続性法と事前推定を用いて、$ M $ 上の完全非線形偏微分方程式 $ f(-\lambda_{\tilde{g}}(A^{t}_{\tilde{g}})) = \phi $ を解く。ここで $ \tilde{g} \in [g] $ は $ \partial M $ 付近で $ g $ に共形的である。
• 共形因子が変換過程で境界上で定数であるようにすることで、境界上での平均曲率条件 $ h_{\tilde{g}} = \psi $ を維持する。
• 最大原理と境界推定を用いて、$ \partial M $ 付近での解の挙動を制御する。この際、$ h_{g_3} = 0 $ であることに依存する。
• 文献[15]の結果を活用し、$ \text{Ric}_{g_2} < 0 $ である境界付近の計量 $ g_2 $ を、$ M $ 全体で $ \text{Ric}_{g_3} < 0 $ となるようにグローバルに拡張し、所定の曲率条件を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界を有するコンパクトなリーマン多様体上において、修正されたショウテンテンソルを含む完全非線形曲率方程式が、所定のスカラー曲率と平均曲率を満たす解を有するか。
• RQ2 バックグラウンド計量と曲率作用素にどのような条件下で、連続性法により解が保証されるか。
• RQ3 境界付近での計量の共形変換により、リッチ曲率を負に保ち、修正されたショウテンテンソルの所定の曲率錐条件を満たすようにすることは可能か。
• RQ4 共形変換過程で平均曲率を制御しつつ、偏微分方程式の楕円型性を維持することは可能か。
• RQ5 データ $ \phi $ と $ \psi $ に対して最小限の仮定のもとで、完全非線形曲率問題の解の正則性はどの程度か。

主な発見

• 任意の滑らかでコンパクトな境界付きリーマン多様体 $ (M^n, g) $（$ n \geq 3 $）に対して、$ \partial M $ 付近に $ C^{4,\alpha_0} $ 共形計量 $ \tilde{g} $ が存在し、$ f(-\lambda_{\tilde{g}}(A^{t}_{\tilde{g}})) = \phi $ および $ \partial M $ 上で $ h_{\tilde{g}} = \psi $ を満たす。ただし $ f \in C^{2,\alpha_0}(\Gamma) $ で、必要な凸性と楕円型条件を満たすものとする。
• 構成法により、$ M $ 上で $ -\lambda_{g_3}(A_{g_3}^t) \in \Gamma_n \subset \Gamma $ が保証され、これにより偏微分方程式の楕円型性が保証され、連続性法の適用が可能になる。
• 本稿では $ \text{Ric}_{g_3} < 0 $ が $ M $ 全体で成り立つことを証明しており、これにより $ A_{g_3}^t $ の固有値が完全非線形作用素に必要な負の性質を満たすことが保証される。
• 与えられた曲率条件と境界条件のもとで、$ g $ に共形的である計量のクラス内で解 $ \tilde{g} $ は一意に定まる。
• 結果は任意の $ t < 1 $ に対して成り立ち、特に $ t = 0 $ の場合、方程式は $ f(-\lambda_{\tilde{g}}(\text{Ric}_{\tilde{g}})) = \phi $ に簡略化され、リッチ曲率型偏微分方程式の可解性が示される。
• 事前推定と連続性法により解の存在が確立され、鍵となるステップは、境界でリッチ曲率が負で、平均曲率がゼロである背景計量 $ g_3 $ の構成である。