[論文レビュー] Some fundamental aspects of a quantum potential

Robert Carroll|ArXiv.org|Jun 9, 2005

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の本質的に任意の量子ポテンシャル $ Q(x,t,\hbar) $ が、導出された量子ハミルトニアン＝ヤコビ形式を伴うシュレーディンガー方程式の解を通じて一般化量子理論を生成できることを確立する。関数解析および楕円型偏微分方程式理論を用いて、$ Q $ が $ L^\infty $ 条件を満たす場合に、$ H_0^1 $ 内で振幅 $ R $ の解の存在および一意性を証明し、1次元における対応する位相関数 $ S $ を構成する。これにより、$ Q $-に基づく理論が標準量子力学に一意に束縛されておらず、新たな物理的ポテンシャルを生み出す可能性があることが示された。

ABSTRACT

We show that given a suitable but essentially arbitrary function Q(x,t,h) there are "generalized" quantum theories having Q as a quantum potential.

研究の動機と目的

• 与えられた任意の $ Q(x,t,\hbar) $ がシュレーディンガー方程式フレームワークを通じて一般化量子理論を生成できることを示すこと。
• 楕円型偏微分方程式理論およびラックス＝ミルグラムの定理を用いて、$ Q $ が $ L^\infty $ 条件を満たす場合に、$ H_0^1 $ 内で振幅 $ R $ の解の存在および一意性を確立すること。
• 1次元における $ R $ から位相関数 $ S $ を構成し、量子ハミルトニアン＝ヤコビ方程式を常微分方程式に還元すること。
• 量子ポテンシャル $ Q $ が古典的極限を一意に決定しないこと、および $ Q=0 $ が古典的挙動を意味しないことの証明。
• 量子ポテンシャルの物理的および幾何的起源を検討し、量子重力およびウェイリーゲームトリーとの関連を示唆すること。

提案手法

• $ \Delta R = \beta Q R $ を $ \beta = 2m/\hbar^2 $ として、$ H_0^1(\Omega) $ 内で変分法および双線形型を用いて解く。
• ラックス＝ミルグラムの定理を適用し、$ \mu > \beta \sup|Q| $ のとき、方程式 $ \Delta R + \mu R = \beta Q R $ が $ H_0^1(\Omega) $ 内で一意解を有することを証明する。
• $ \nabla S = p $ および連続の方程式 $ \partial_t R^2 + \nabla \cdot (R^2 \nabla S) = 0 $ を用いて、1次元で $ R^2 p $ を導出する。
• $ R^2 p $ を積分し、$ \partial_t R^2 $ で表される任意関数 $ f(t) $ を導入する。
• $ p $ を量子ハミルトニアン＝ヤコビ方程式 $ \partial_t S + \frac{1}{2m} p^2 + Q + V = 0 $ に代入し、$ \partial_t S $ の式を導出する。
• $ \partial_t S $ を積分し、$ R $、$ f(t) $、および任意関数 $ g(x) $ を用いて $ S $ を一般解として構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の任意の $ Q(x,t,\hbar) $ が一般化量子理論における量子ポテンシャルとして実現可能か？
• RQ2 $ \Delta R = \beta Q R $ が $ H_0^1(\Omega) $ 内で一意解を有する条件は何か？
• RQ3 1次元において、$ R $ から量子ハミルトニアン＝ヤコビ方程式を満たすように位相関数 $ S $ を再構成する方法は何か？
• RQ4 $ Q=0 $ の物理的意味は何か？ これは古典的極限を意味するのか？
• RQ5 量子ポテンシャルは $ Q=0 $ の場合でさえも物理的に意味のあるポテンシャル $ V $ を生成できるか？

主な発見

• $ Q \in L^\infty $ かつ $ Q \leq 0 $ のとき、方程式 $ \Delta R = \beta Q R $ は $ H_0^1(\Omega) $ 内に一意解を有する。
• $ \mu > \beta \sup|Q| $ のとき、方程式 $ \Delta R + \mu R = \beta Q R $ は $ H_0^1(\Omega) $ 内に一意解を有する。
• 高々可算個の固有値の集合 $ \Sigma \subset \mathbb{R} $ が存在し、$ \Delta R = \beta Q R + \lambda R $ が一意解を有するのは $ \lambda \notin \Sigma $ のときに限る。
• 1次元において、$ R $ が $ \Delta R = \beta Q R $ を満たすとき、$ S = -\int^t (Q+V)dt - \frac{1}{2} \int^t \frac{1}{R^4} \left[ f(t) - \partial_t \int^x R^2 dx \right]^2 dt + g(x) $ の形で解 $ S $ が存在する。
• $ Q=0 $ の場合、$ \partial V = -4mc^2 x $ および $ \partial V = -\frac{4}{9}mc^2 x $ を構成し、$ V \sim -2mc^2 x^2 $ に対応させることで、$ Q=0 $ からも非自明な力学的挙動を生み出すことを示した。
• シュレーディンガー方程式から量子ポテンシャルへの写像は一対多対応である。同様に、異なる波動関数が同じ $ Q $ を生み出すことができ、$ Q=0 $ であっても古典的挙動を意味しない。