[論文レビュー] Some generalizations and unifications of $C_{K}(X)$, $C_{\psi}(X)$ and $C_{\infty}(X)$

Ali Taherifar|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2012

Rings, Modules, and Algebras参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、完全正規Hausdorff空間 $X$ 上の開フィルター基底 $P$ を用いて $C_P(X)$ および $C^rown_P(X)$ を導入することで、$C_K(X)$、$C_\psi(X)$、$C_\infty(X)$ を一般化・統一する。$C^rown_P(X)$ がイデアル、z-イデアル、または正則環であるための条件を確立し、$P$ に関連するフィルター $F$ の位相的性質を用いて本質的イデアルおよび自由イデアルを特徴付ける。主な貢献は、環論的性質とフィルター・位相的構造を結びつける統一的な枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

Let $\cal{P}$ be an open filter base for a filter $\cal{F}$ on $X$. We denote by $C^{\cal{P}}(X)$ ($C_{\infty\cal{P}}(X)$) the set of all functions $f\in C(X)$ where $Z(f)$ ($\{x: |f(x)|< \frac{1}{n}\})$ contains an element of $\cal{P}$. First, we observe that every proper subrings in the sense of Acharyya and Ghosh (Topology Proc. 2010) has such form and vice versa. After wards, we generalize some well known theorems about $C_{K}(X), C_{\psi}(X)$ and $C_{\infty}(X)$ for $C^{\cal{P}}(X)$ and $C_{\infty\cal{P}}(X)$. We observe that $C_{\infty\cal{P}}(X)$ may not be an ideal of $C(X)$. It is shown that $C_{\infty\cal{P}}(X)$ is an ideal of $C(X)$ and for each $F\in\cal{F}$, $X\setminus \overline{F}$ is bounded \ifif the set of non-cluster points of the filter $\cal{F}$ is bounded. By this result, we investigate topological spaces for which $C_{\infty\cal{P}}(X)$ is an ideal of $C(X)$ whenever $\cal{P}$=$\{A\subsetneq X$: $A$ is open and $X\setminus A$ is bounded $\}$ (resp., $\cal{P}$=$\{A\subsetneq X$: $X\setminus A$ is finite $\}$). Moreover, we prove that $C^{\cal{P}}(X)$ is an essential (resp., free) ideal \ifif the set $\{V:$ $V$ is open and $X\setminus V\in\mathcal{F}\}$ is a $\pi$-base for $X$ (resp., $\mathcal{F}$ has no cluster point). Finally, the filter $\cal{F}$ for which $C_{\infty\cal{P}}(X)$ is a regular ring (resp., $z$-ideal) is characterized.

研究の動機と目的

• フィルター基底を用いて $C_K(X)$、$C_\psi(X)$、$C_\infty(X)$ を一般化・統一すること。
• $C^\frown_P(X)$ が $C(X)$ のイデアルである条件を、フィルター $F$ の非集積点の有界性の観点から特徴付けること。
• $C_P(X)$ および $C^\frown_P(X)$ が本質的・自由・z-イデアルである条件を、フィルター $F$ の位相的性質を用いて同定すること。
• $C^\frown_P(X)$ がvon Neumann正則環である条件を特徴付けること。

提案手法

• $C_P(X)$ を、$f \in C(X)$ で $Z(f)$ が開フィルター基底 $P$ の要素を含むような関数の集合として定義する。
• $C^\frown_P(X)$ を、各 $n \in \mathbb{N}$ に対して $\{x : |f(x)| < 1/n\}$ が $P$ の要素を含むような $f \in C(X)$ の集合として定義する。
• $P$ によって生成される関連フィルター $F$ を用いて、$X$ の位相的性質と環論的性質を関連付ける。
• $F$-CG$\delta$ 集合を、$X \setminus A_i$ と $A_{i+1}$ が完全に分離され、各 $i$ に対して $A_i \in F$ であるような可算個の開集合 $A_i$ の共通部分として定義する。
• $C_P(X)$ が z-イデアルであり、$C^\frown_P(X)$ が $C(X)$ の真部分環であることを証明する。
• $\pi$-基底および集積点の性質を用いて、$C^\frown_P(X)$ の本質的イデアルおよび正則性を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 いつ $C^\frown_P(X)$ が $C(X)$ のイデアルであるか？
• RQ2 いつ $C_P(X)$ が本質的イデアルであり、これは $X$ の開集合 $V$ の族で $X \setminus V \in F$ を満たすものによる $\pi$-基底と関係するか？
• RQ3 $C^\frown_P(X)$ が z-イデアルである条件は何か？ また、$F$-CG$\delta$ 集合にどのような位相的条件がこの性質を保証するか？
• RQ4 $C^\frown_P(X)$ が正則環である条件は何か？ そして、閉じた $F$-CG$\delta$ 集合の開性および $F$ への属性にどのように依存するか？
• RQ5 $C_P(X)$ および $C^\frown_P(X)$ の性質は、フィルター $F$ の集積点の存在とどのように関係するか？

主な発見

• $C^\frown_P(X)$ が $C(X)$ のイデアルであるための必要十分条件は、フィルター $F$ の非集積点の集合が有界であることである。
• $C^\frown_P(X)$ が $C(X)$ のイデアルであり、かつすべての $F \in F$ に対して $X \setminus F$ が有界であるための必要十分条件は、$F$ の非集積点の集合が有界であることである。
• $C_P(X)$ が本質的イデアルであるための必要十分条件は、$\{V : V \text{ は開}, X \setminus V \in F\}$ の族が $X$ の $\pi$-基底をなすことである。
• $C_P(X)$ が自由イデアルであるための必要十分条件は、フィルター $F$ が集積点を持たないことである。
• $C^\frown_P(X)$ が z-イデアルであるための必要十分条件は、閉じた $F$-CG$\delta$ 集合を含むすべての cozero-集合が $F$ の要素であることである。
• $C^\frown_P(X)$ が正則環であるための必要十分条件は、すべての閉じた $F$-CG$\delta$ 集合が開であり、かつ $F$ に属することである。