[論文レビュー] Some generalizations of second submodules

H. Ansari-Toroghy, F. Farshadifar|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2016

Rings, Modules, and Algebras参考文献 9被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、2-吸収イデアルおよび2-吸収部分加群の概念を第二加群の文脈に拡張することで、第二部分加群の2つの一般化—2-吸収第二部分加群および強力2-吸収第二部分加群—を導入し、それらを考察する。基礎的な性質を確立し、特定の条件下で第二加群や準第二加群が2-吸収第二加群であることを証明するとともに、部分加群の強力2-吸収第二加群の根基が適切に定義され、冪等的であることを示している。主な結果として、アルティン加群は有限個の極大強力2-吸収第二部分加群しか持たず、インジェクティブ加群を用いたHom関手により強力2-吸収第二加群が得られることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we will introduce two generalizations of second submodules of a module over a commutative ring and explore some basic properties of these classes of modules.

研究の動機と目的

• 第二部分加群の概念を、2-吸収第二加群および強力2-吸収第二加群を導入することによって一般化すること。
• これらの一般化された第二加群の構造的性質が、イデアル、部分加群、加群自己準同型とどのように関係するかを調査すること。
• 第二加群または準第二加群が2-吸収第二加群となる条件を確立すること、特に商環 $ R/\operatorname{Ann}_R(N) $ に非ゼロの冪零元がない場合を特に考える。
• 部分加群の強力2-吸収第二加群の根基を定義し、その冪等性および単調性の性質を分析すること。
• 鎖条件の下で極大強力2-吸収第二加群の有限性を証明し、関手的性質の保存を示すこと。

提案手法

• イデアル、完全不可約部分加群、およびアニュレーターを含む条件を用いて2-吸収第二部分加群を定義する：$ abN \subseteq L $ ならば、$ aN \subseteq L $、$ bN \subseteq L $、または $ ab \in \operatorname{Ann}_R(N) $ のいずれかが成り立つ。
• Zornの補題を用いて、与えられた部分加群内に極大強力2-吸収第二部分加群が存在することを証明する。
• 部分加群 $ N $ に含まれるすべてのこのような部分加群の和として強力2-吸収第二加群の根基 $ s.2.sec(N) $ を定義し、その冪等性と単調性を証明する。
• Hom関手とインジェクティブ加群を用いて、$ N $ が2-吸収であり、$ E $ がインジェクティブであるとき、$ \operatorname{Hom}_R(M/N, E) $ が強力2-吸収第二加群であることを示す。
• 強力2-吸収第二加群の根基部分加群に対する降鎖条件を適用し、極大なような部分加群が有限個であることを証明する。
• 2-吸収と強力2-吸収部分加群の間の双対性を活用し、2-吸収部分加群が強力2-吸収部分加群を含むが、逆は一般には成り立たないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二加群または第二加群の和が2-吸収第二加群となるのはいつか？
• RQ2 準第二加群 $ N $ が2-吸収第二加群となる条件は何か、特に $ R/\operatorname{Ann}_R(N) $ に非ゼロの冪零元がない場合に注目する。
• RQ3 すべての強力2-吸収第二加群は極大なものに含まれるか？また、Zornの補題によってその極大性を保証できるか？
• RQ4 強力2-吸収第二加群の根基 $ s.2.sec(N) $ の構造は何か？また、その交わり、和、包含関係における振る舞いは？
• RQ5 強力2-吸収第二加群の根基部分加群に対する降鎖条件を満たす加群の族は、極大なような部分加群が有限個しか持たないことを保証するか？

主な発見

• すべての第二加群または二つの第二加群の和は、2-吸収第二加群である。
• 準第二加群 $ N $ は、$ R/\operatorname{Ann}_R(N) $ に非ゼロの冪零元がない場合に限り、2-吸収第二加群である。
• 強力2-吸収第二加群の根基 $ s.2.sec(N) $ は適切に定義されており、$ s.2.sec(s.2.sec(N)) = s.2.sec(N) $ を満たすため、冪等的である。
• 加群 $ M $ が強力2-吸収第二加群の根基部分加群に対して降鎖条件を満たすならば、すべての非ゼロ部分加群は、有限個の極大強力2-吸収第二加群部分加群しか持たない。
• すべてのアルティン $ R $-加群は、有限個の極大強力2-吸収第二加群部分加群しか持たない。
• 部分加群 $ N $ が $ M $ において2-吸収であり、$ E $ がインジェクティブ $ R $-加群で $ \operatorname{Hom}_R(M/N, E) \neq 0 $ であるならば、$ \operatorname{Hom}_R(M/N, E) $ は強力2-吸収第二 $ R $-加群である。