[論文レビュー] Some Geometric Properties of the Bakry-Emery-Ricci Tensor

John Lott|ArXiv.org|Nov 4, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、古典的なリッチ曲率の定理をバクリ＝エメリー・リッチテンソルへ拡張し、この一般化されたリッチテンソルの下限が非負または正であると、基本群の有限性やベッチ数の上限といった多様体の位相的制約が生じることを示している。さらに、ファイバー測度が定数倍の違いを除いて保存されるリーマン的な部分被覆の下で、バクリ＝エメリーテンソルが非減少であることが示され、このテンソルが崩壊幾何における測度付きグロモフ＝ハウスドルフ極限やソボレフ不等式と関連していることが明らかにされた。

ABSTRACT

The Bakry-Emery tensor gives an analog of the Ricci tensor for a Riemannian manifold with a smooth measure. We show that some of the topological consequences of having a positive or nonnegative Ricci tensor are also valid for the Bakry-Emery tensor. We show that the Bakry-Emery tensor is nondecreasing under a Riemannian submersion whose fiber transport preserves measures up to constants. We give some relations between the Bakry-Emery tensor and measured Gromov-Hausdorff limits.

研究の動機と目的

• 非負または正のリッチ曲率を持つ多様体に関する古典的な位相的結果を、バクリ＝エメリー・リッチテンソルの設定へ一般化すること。
• ファイバー測度が定数倍の違いを除いて保存されるリーマン的部分被覆の下で、バクリ＝エメリーテンソルがどのように振る舞うかを調査すること。
• 崩壊するリーマン多様体の文脈において、バクリ＝エメリーテンソルと測度付きグロモフ＝ハウスドルフ極限との関係を探索すること。
• 曲率の下限を満たす滑らかな測度付き多様体に対して、重み付きソボレフ不等式を導出すること。
• バクリ＝エメリーテンソルをモデルとして用いて、一般の測度付き空間における一般化されたリッチ曲率が下から有界であるという合成的定義を提唱すること。

提案手法

• バクリ＝エメリー・リッチ曲率の下限の下で、調和1形式およびキリングベクトル場を分析するために、ボッハラー型の恒等式を用いる。
• 滑らかな測度 $\phi \, d\mathrm{vol}_M$ を持つ多様体のリッチ曲率を一般化するために、バクリ＝エメリー・リッチテンソルを $\widetilde{\mathrm{Ric}}_\infty = \mathrm{Ric} - \mathrm{Hess}(\ln\phi) $ として定義する。
• 曲率・次元条件 $\mathrm{CD}(r, n+q)$ と関連付けるために、$\widetilde{\mathrm{Ric}}_q = \mathrm{Ric} - \mathrm{Hess}(\ln\phi) - \frac{1}{q} d\ln\phi \otimes d\ln\phi$ の概念を適用する。
• ファイバー移動が測度 $\phi \, d\mathrm{vol}_F$ を定数倍の違いを除いて保存する場合、バクリ＝エメリーテンソルがリーマン的部分被覆の下で非減少であることを確立する。
• 曲率下限 $\widetilde{\mathrm{Ric}}_q \geq \frac{n+q-1}{R^2} g$ を用いて、$S^{n+q}$ からの不等式を引き戻すことで、重み付きソボレフ不等式を導出する。
• ビショップ＝グロモフ型の体積比較と相対体積比を用いて、$\widetilde{\mathrm{Ric}}_q \geq r g$ かつ有界な直径を満たす多様体が測度付きグロモフ＝ハウスドルフ位相において前コンパクトであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正のバクリ＝エメリー・リッチテンソルが基本群の有限性を示すのはどのような条件下か？
• RQ2 ファイバー測度が定数倍の違いを除いて保存される場合、バクリ＝エメリー・リッチテンソルはリーマン的部分被覆の下でどのように振る舞うか？
• RQ3 曲率下限 $\widetilde{\mathrm{Ric}}_q \geq r g$ を満たす滑らかな測度付き多様体に対して、重み付きソボレフ不等式を導出できるか？
• RQ4 崩壊幾何における測度付きグロモフ＝ハウスドルフ極限とバクリ＝エメリーテンソルの関係は何か？
• RQ5 バクリ＝エメリーテンソルをモデルとして用いて、一般の測度付き空間におけるリッチ曲率が下から有界であるという合成的定義を定義できるか？

主な発見

• もし $\widetilde{\mathrm{Ric}}_\infty > 0$ ならば、基本群 $\pi_1(M)$ は有限である。
• もし $\widetilde{\mathrm{Ric}}_q \geq 0$ かつ $q \in (0, \infty)$ ならば、$\pi_1(M)$ はランクが高々 $n$ の有限指数のアーベル部分群を含む。
• もし $\widetilde{\mathrm{Ric}}_\infty \geq 0$ ならば、$\mathrm{H}^1(M; \mathbb{R})$ は $\mathrm{grad}(\phi)$ に直交する平行1形式の空間に同型であり、$b_1(M) \leq n$ が成り立つ。等号が成立するのは $M$ がフラットトーラスであり $\phi$ が定数である場合に限る。
• もし $\widetilde{\mathrm{Ric}}_\infty < 0$ ならば、$(M,g)$ の等長群は有限である。
• もし $\widetilde{\mathrm{Ric}}_\infty \leq 0$ ならば、任意のキリングベクトル場は平行であり、$\phi$ を消滅させる。
• 測度を保存するファイバー移動を伴うリーマン的部分被覆の下で、$\widetilde{\mathrm{Ric}}_\infty^M \geq r g^M$ ならば $\widetilde{\mathrm{Ric}}_\infty^B \geq r g^B$ が成り立つ。