[論文レビュー] Some Hermite-Hadamard Type Inequalities For Harmonically $(s,m)$-convex functions in Second Sense

Imran Abbas Baloch, İmdat Işcan|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2016

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、第二義的意味における調和的(s,m)-凸関数を導入し、Hölderの不等式および超幾何関数を含む積分表現を用いて、そのような関数に対する新しいHermite-Hadamard型積分不等式を確立する。主な貢献は、既存の調和的s-凸および(s,m)-凸関数に関する結果を統一・拡張する一般化された不等式であり、特殊ケースとしてIscın、Chen、Wuによる既知の定理が回復される。

ABSTRACT

Authors introduce the concept of harmonically $(s,m)$-convex functions in second sense in \cite{II}.In this article, we establish some Hermite-Hadamard type inequalities of this class of functions.

研究の動機と目的

• 第二義的意味における調和的(s,m)-凸関数の概念を導入し、形式化すること。
• 既存のHermite-Hadamard型不等式を、このより広範な関数クラスに拡張すること。
• 調和的s-凸および(s,m)-凸関数に関する既存の結果を統一・一般化すること。
• 高階凸性を用いて、関数値の平均と積分平均の差に対する鋭い積分評価を導出すること。
• 特定のsおよびmの値を設定することで、既知の定理を特別な場合として回復すること。

提案手法

• t ∈ [0,1]、s ∈ (0,1]、m ∈ (0,1] に対して、f(xy/(tx + (1-t)y)) ≤ t^s f(y) + m(1-t)^s f(x) による不等式を用いて、調和的(s,m)-凸関数を定義する。
• 導関数を含む重み付き積分として、算術平均と積分平均の差を表す補題を用いる。
• Hölderの不等式を適用し、|f′|^q の(s,m)-凸性を用いて導関数項のL1ノルムを評価する。
• 得られた積分を超幾何関数 _2F_1 およびベータ関数 β を用いて表現する。
• 2つの主要な不等式を導出する：q ≥ 1 の場合にべき平均を用いたものと、q > 1 の場合に共役指数pを用いたもの。
• s=1 または m=1 と設定した場合に、結果が既知の定理（例：Iscın, Chen & Wu）に還元されることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二義的意味における調和的凸性の概念を、s-凸性とm-凸性を両方含む形にどのように一般化できるか？
• RQ2 |f′|^q が調和的(s,m)-凸であると仮定した場合、どのような新しいHermite-Hadamard型不等式が得られるか？
• RQ3 新しい不等式は、文献に既存の結果とどのように関係し、一般化されるか？
• RQ4 超幾何関数とベータ関数は、鋭い評価を導出する際に果たす役割は何か？
• RQ5 新しい不等式は、特定の値を代入することで、以前に確立された定理を特別な場合として回復できるか？

主な発見

• 本稿では、第二義的意味における調和的(s,m)-凸関数に対する新しいHermite-Hadamard型不等式を確立した。この不等式はq ≥ 1に対して有効である。
• 評価には超幾何関数 _2F_1 とベータ関数が含まれ、係数ρ₁(s,q;a,b) および ρ₂(s,q;a,b) はs、q、a、bに依存する。
• m=1 の場合、不等式はChenとWuによる定理1.7に還元され、先行研究と整合性が確認される。
• s=1 の場合、不等式はIscınによる定理1.3に還元され、彼の結果が一般化されていることが示される。
• s=1 かつ m=1 の場合、不等式はIscınによる定理1.4に回復され、既知の結果が完全に統合されていることが示される。
• q > 1 に対する第二の主要な不等式は共役指数pを用い、ν₁(s,q;a,b) および ν₂(s,q;a,b) を含む。これらはベータ関数および超幾何関数を用いて表現される。