[論文レビュー] Some Hierarchies of QCB_0-Spaces

Matthias Schroeder, Victor Selivanov|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、BorelおよびLuzin分類に基づき、$P\omega$への埋め込みと適切な表現を用いて、$ϱCB_0$-空間の階層を導入し、分析する。これらの階層が非崩壊であることを証明し、再び埋め込みに関して閉じていることを示し、Luzin階層が有限型連続汎関数を捉え、$\omega$を含む最小のカルテシアン閉カテゴリを形成することを示す。結果として、解析および計算可能性理論における記述的集合論の洗練された計算可能な枠組みが得られる。

ABSTRACT

We define and study hierarchies of topological spaces induced by the classical Borel and Luzin hierarchies of sets. Our hierarchies are divided into two classes: hierarchies of countably based spaces induced by their embeddings into the domain Pω, and hierarchies of spaces (not necessarily countably based) induced by their admissible representations. We concentrate on the non-collapse property of the hierarchies and on the relationships between hierarchies in the two classes.

研究の動機と目的

• 古典的BorelおよびLuzin階層に基づく$ϱCB_0$-空間の階層を定義し、研究すること。
• これらの階層の非崩壊性を調査し、階層の各レベルが互いに異なることを保証すること。
• 可算基底$T_0$-空間（$\mathsf{CB_0}$-空間）の階層と一般の$ϱCB_0$-空間の階層との関係を確立すること。
• Luzin階層が、有限型のKleene-Kreisel連続汎関数を捉えていることを示すこと。
• Luzin階層に属するすべての空間のクラスが、離散空間$\omega$を含む最小のカルテシアン閉カテゴリであることを示すこと。

提案手法

• 適切な表現と$P\omega$への埋め込みを用いて、古典的BorelおよびLuzin階層をポーランド空間から任意の$ϱCB_0$-空間へ拡張する。
• $P\omega$の単射性およびLavrentyevの定理の一般化を用いて、再び埋め込みに関する閉包性と非崩壊性を証明する。
• $ϱCB_0$-空間の圏における指数対象の理論を適用し、関数空間が$ϱCB_0$-空間の圏における指数の再び埋め込みとホメオモーフィックであることを示す。
• $\mathbb{N}_\infty$が指数$E_{\mathcal{N}}$の連続的再び埋め込みであることに着目し、評価写像の逐次的連続性および位相的連続性を確立する。
• 適切な表現とその複雑さクラス（例：$\mathbf{\Sigma}^1_n$）を用いて、階層内での空間の分類を行う。
• 記述的集合論および計算可能性理論の既知の結果、特に$ϱCB_0$-空間が可算基底空間の商として表せることに依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ϱCB_0$-空間のBorelおよびLuzin階層は、どこかのレベルで崩壊するか？
• RQ2 $P\omega$への埋め込みによって誘導される$ϱCB_0$-空間の階層と、それらの階層との関係は何か？
• RQ3 Luzin階層に属するすべての空間のクラスは、指数演算に関して閉じており、したがってカルテシアン閉じているか？
• RQ4 Luzin階層が、有限型のKleene-Kreisel連続汎関数を含むことを示せるか？
• RQ5 Luzin階層に属するすべての空間のクラスは、$\omega$を含む最小のカルテシアン閉カテゴリの完全部分圏か？

主な発見

• $ϱCB_0$-空間のBorelおよびLuzin階層は崩壊しない。各レベルは直前のレベルを真に含む。
• 階層の各レベルは再び埋め込みに関して閉じており、位相的変形に対して堅牢である。
• Luzin階層に属するすべての空間のクラスは、$\omega$を含み、かつこの性質に関して最小であるカルテシアン閉カテゴリを形成する。
• Luzin階層は、有限型のKleene-Kreisel連続汎関数を捉え、記述的集合論と計算可能性理論との間に深い関係を確立する。
• $P\omega$への埋め込みによって誘導される$ϱCB_0$-空間の階層は、適切な表現を介して$ϱCB_0$-階層の対応するレベルの$ϱCB_0$-空間のクラスと一致する。
• 非崩壊性の証明は、$\mathbb{N}\langle n+1\rangle$の適切な表現$\delta$について、等価関係集合$\mathit{EQ}(\delta)$が$\mathbf{\Sigma}^1_n(\mathcal{N}^2)$に属しないことを示すことに依拠しており、崩壊が起これば既知の結果と矛盾する。