[論文レビュー] Some homological properties of category O. III

Kevin Coulembier, Volodymyr Mazorchuk|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 55被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、複素単純リー代数の分厚い圏 𝒪 がすべての加群の圏において拡張完全であることを確立し、正則ブロックおよびそれらに付随するハリシュ＝チャンドラ両側加群について弱アレクサンドル予想を確認するとともに、特異ブロックについてはこれを反証した。さらに、無限バージョンへの移行に伴い、分厚い圏 𝒪 における投射次元が dim 𝔥 増加することを示した。

ABSTRACT

We prove that thick category $\mathcal{O}$ associated to a semi-simple complex finite dimensional Lie algebra is extension full in the category of all modules. We also prove the weak Alexandru conjecture both for regular blocks of thick category $\mathcal{O}$ and the associated categories of Harish-Chandra bimodules, but disprove it for singular blocks.

研究の動機と目的

• BGG圏 𝒪 および関連する加群圏内の部分圏の拡張完全性を調査すること。
• 分厚い圏 𝒪 の正則ブロックおよびそれらに付随するハリシュ＝チャンドラ両側加群について、弱アレクサンドル予想を検証すること。
• 圏 𝒪 の特異ブロックについて、弱アレクサンドル予想を反証すること。
• 分厚い圏 𝒪 における構造的加群の投射次元を計算し、それらを通常の圏 𝒪 における投射次元と関連付けること。
• 結果をハリシュ＝チャンドラ両側加群の圏に拡張し、そのホモロジー的性質を分析すること。

提案手法

• ヤネド拡張およびセレ部分圏を用いた、アーベル圏における拡張完全性の抽象的基準を構築した。
• これらの基準を適用し、圏 𝒪 が重み加群の圏において、および分厚い圏 𝒪 がすべての加群の圏において拡張完全であることを示した。
• カジダン＝ルスティグ予想および Cline-Parshall-Scott の結果を用いて、正則ブロックにおける拡張完全性を確立した。
• 圏 𝒪 の特異ブロックにおいて、反例を明示的に構成し、弱アレクサンドル予想を反証した。
• 分厚い圏 𝒪^∞ における投射次元と有限版 𝒪^I における投射次元との関係を示す公式を導出した：pd_{𝒪^∞}M = pd_{𝒪^I}M + dim 𝔥。
• 圏の同値およびグローバル次元の計算を用いて、結果をハリシュ＝チャンドラ両側加群に拡張した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分厚い圏 𝒪 は、複素単純リー代数上のすべての加群の圏において拡張完全か？
• RQ2 弱アレクサンドル予想は、分厚い圏 𝒪 の正則ブロックおよびそれらに付随するハリシュ＝チャンドラ両側加群に対して成り立つか？
• RQ3 弱アレクサンドル予想は、圏 𝒪 の特異ブロックに対して成り立つか？
• RQ4 有限版の分厚い圏 𝒪^I における加群の投射次元と、無限版の分厚い圏 𝒪^∞ における投射次元との関係は何か？
• RQ5 ハリシュ＝チャンドラ両側加群の圏は、すべての両側加群の圏において拡張完全か？

主な発見

• 複素単純リー代数上の分厚い圏 𝒪 は、すべての加群の圏において拡張完全である。
• 弱アレクサンドル予想は、分厚い圏 𝒪 の正則ブロックおよびそれらに付随するハリシュ＝チャンドラ両側加群の圏に対して成り立つ。
• 特異ブロックについては、弱アレクサンドル予想は成り立たない。これは 𝔰𝔩(3) における反例によって示された。
• 任意の有限投射次元を持つ加群 M について、有限版 𝒪^I における投射次元と無限版 𝒪^∞ における投射次元の関係は、pd_{𝒪^∞}M = pd_{𝒪^I}M + dim 𝔥 で与えられる。
• ハリシュ＝チャンドラ両側加群の圏 ${}_{ heta}^{ ext{∞}} ext{H}^{ ext{∞}}_{ ext{χ}}$ は、有限グローバル次元を持ち、χ が整数的であるとき、その次元は dim 𝔤 に等しい。
• 圏 ${}_{ ext{χ}}^{ ext{∞}} ext{H}^{ ext{∞}}_{ ext{χ}}$ は、すべての 𝔤-両側加群の圏において拡張完全ではない。これは、2dim 𝔤 次元における同型でない写像によって示された。