[論文レビュー] Some homological properties of skew PBW extensions

Oswaldo Lezama, Armando Reyes|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、左ネーター的で左正則な環の双射歪PBW拡張が、これらのホモロジカル性質を継承することを確立し、このような拡張に対してセールの定理を証明する。さらに、歪PBW拡張およびその局所化のグローバル次元、クルール次元、ゴールディ次元、およびキーグループを計算し、自己同型がキーグループに自明に作用する場合、K理論がパラメータrの二項係数を用いて分解することを示す。

ABSTRACT

We prove that if R is a left Noetherian and left regular ring then the same is true for any bijective skew PBW extension A of R. From this we get Serre's Theorem for such extensions. We show that skew PBW extensions and its localizations include a wide variety of rings and algebras of interest for modern mathematical physics such as PBW extensions, well known classes of Ore algebras, operator algebras, diffusion algebras, quantum algebras, quadratic algebras in 3-variables, skew quantum polynomials, among many others. We estimate the global, Krull and Goldie dimensions, and also Quillen's K-groups.

研究の動機と目的

• ベース環Rが左ネーター的で左正則であるとき、双射歪PBW拡張Aが左ネーター的および左正則的性質を保つことを確立すること。
• セールの定理を歪PBW拡張のクラスに拡張し、可換および次数付き環からの結果を非可換設定に一般化すること。
• 歪PBW拡張およびその局所化のグローバル次元、クルール次元、ゴールディ次元を推定すること。
• 特に、多重パラメータ歪量子トーラスおよび歪ローレンツ多項式拡張のためのクイレンのK群を計算すること。
• 数学的物理に関連する広範な非可換環のK理論を体系的に計算するフレームワークを提供すること、特に量子代数とオーレ代数を含む。

提案手法

• 自己同型σ_iおよびσ_i-微分作用素δ_iによって支配される非可換関係を持つ、標準単項式を備えた左R自由代数としての歪PBW拡張の定義を用いる。
• 定理1.5を適用して、積の一意因数分解および左乗法の性質により歪PBW拡張を特徴づけ、R加群構造と整合性を保証する。
• Rが左ネーター的で左正則であるならば、任意の双射歪PBW拡張Aも左ネーター的で左正則的であることを、帰納法および拡張の構造的性質を用いて証明する。
• 歪PBW拡張の局所化を用いて歪ローレンツ多項式拡張を構成し、このような局所化がホモロジカル性質を保存することを示す。
• 代数的K理論における長完全系列（[42]より）を用い、自己同型がK理論に自明に作用するという仮定の下で、歪ローレンツ拡張のK_iがベース環のK_iおよびK_{i-1}と関係づけられることを示す。
• K理論の長完全系列を繰り返し適用し、rに関する帰納法を用いて、K_m(R_q,σ[x_1^{±1},...,x_r^{±1},x_{r+1},...,x_n])の閉形式表現を二項係数に基づいて導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左ネーター的で左正則な環の双射歪PBW拡張は、依然として左ネーター的で左正則的であるか？
• RQ2 セールの定理は、歪PBW拡張の非可換設定に一般化可能か？
• RQ3 歪PBW拡張およびその局所化のグローバル次元、クルール次元、ゴールディ次元は何か？
• RQ4 歪PBW拡張のクイレンのK群はどのように分解するか、特に多重パラメータ歪量子トーラスの場合に？
• RQ5 歪PBW拡張のK理論が、可逆生成子の数の二項係数によってインデックス付けられた直和に分解する条件は何か？

主な発見

• Rが左ネーター的で左正則であるならば、Rの任意の双射歪PBW拡張Aも左ネーター的で左正則的である。
• セールの定理は双射歪PBW拡張に対しても成立する：Aのグローバル次元はRのグローバル次元に等しい。
• 双射歪PBW拡張A = σ(R)⟨x₁,…,xₙ⟩に対して、グローバル次元はgl.dim(A) = gl.dim(R)を満たし、クルール次元はKdim(A) = Kdim(R) + nを満たす。
• Rがゴールディ的である限り、Aのゴールディ次元はRのゴールディ次元に等しい。
• r-多重パラメータ歪量子トーラスR_q,σ[x₁^{±1},…,x_r^{±1},x_{r+1},…,x_n]に対して、K理論群はK_m ≅ ⨁_{j=0}^m [K_j(R)]^{C_r^{m−j}} を満たす。ただし、各σ_jが直前の拡張のK理論に自明に作用すると仮定する。
• 特に、K₀(R_q,σ[x₁^{±1},…,x_r^{±1},x_{r+1},…,x_n]) ≅ K₀(R)、K₁ ≅ [K₀(R)]^r ⊕ K₁(R)、およびK₂ ≅ [K₀(R)]^{r(r−1)/2} ⊕ [K₁(R)]^r ⊕ K₂(R) が成り立つ。