[論文レビュー] Some Hopf algebras of dimension $72$ without the Chevalley property

Naihong Hu, Rongchuan Xiong|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、12次元の非半単純なコラディカルをもつホップ代数に一般化されたリフトメソッドを適用することで、72次元の新しい有限次元ホップ代数を構成し、Chevalley性質を満たさない（つまり、コラディカルが部分代数でない）ものを作り出した。非半単純なモジュール上のニコルズ代数が無限次元であることを証明し、生成子と関係式を明示的に記述することで、Chevalley性質を満たさない72次元のホップ代数を導いた。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Drinfeld double $\D$ of a $12$-dimensional Hopf algebra $\C$ over an algebraically closed field of characteristic zero whose coradical is not a subalgebra and describe its simple modules, projective covers of the simple modules and show that it is of wild representation type. Moreover, we show that the Nichols algebras associated to non-simple indecomposable modules are infinite-dimensional. In particular, for any object $V$ in $\CYD$, if $\BN(V)$ is finite-dimensional, then $V$ must be semisimple. Finally, we describe the Nichols algebras associated to partial simple modules in terms of generators and relations. As a byproduct, we obtain some Hopf algebras of dimension $72$ without the Chevalley property, that is, the coradical is not a subalgebra.

研究の動機と目的

• 72次元のChevalley性質を満たさない有限次元ホップ代数を分類すること。
• コラディカルがホップ部分代数である古典的状況を超えてリフト法を拡張すること。
• 非半単純なモジュールに関連するニコルズ代数が有限次元である条件を特定すること。
• 部分単純モジュール上の有限次元ニコルズ代数の構造を明示的に記述すること。
• 一般化されたリフト法を用いて、非半単純なコラディカルをもつ新しいホップ代数の例を構成すること。

提案手法

• アンドルスキエヴィッチとクアドラの一般化されたリフト法を用い、コラディカルフィルトレーションの代わりに標準フィルトレーションを導入することで、Chevalley性質を満たさないホップ代数を扱う。
• コラディカルが部分代数でない12次元のホップ代数 $\mathcal{C}$ のドリンフェルト双対 $\mathcal{D}$ を構成する。
• $\mathcal{D}$ の表現論（単純モジュールおよび射影被覆を含む）を解析し、それが野生的表現型であることを示す。
• 特定の braided ベクトル空間 $V$ に対して、ボゾニゼーション $\mathcal{B}(V)\sharp\mathcal{C}$ におけるコプロダクトと関係式を計算し、$\mathcal{B}(V)$ が有限次元である条件を同定する。
• 直接的な代数的計算により、$xy - yx$ のような特定の交換子が代数内で消えることを示し、$x^3 = 0$ や $x^2 - \xi^2 y^2 = 0$ のような関係式が得られ、$A \cong \mathrm{gr}\,A$ を示す。
• 得られた代数が $V$ が $V_{2,2}$, $V_{2,4}$, $V_{3,1}$, または $V_{3,5}$ と同型である場合に $\mathcal{B}(V)\sharp\mathcal{C}$ と同型であることを検証し、Chevalley性質を満たさない72次元のホップ代数を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 72次元の有限次元ホップ代数でChevalley性質を満たさないものはどれであり、どのように体系的に構成できるか？
• RQ2 $V$ が半単純でないとき、ニコルズ代数 $\mathcal{B}(V)$ が有限次元である条件は何か？
• RQ3 コラディカルが部分代数でないホップ代数に対しても一般化されたリフト法を適用できるか？
• RQ4 非半単純なイータ・ドリンフェルト・モジュール上の有限次元ニコルズ代数の明示的表現（生成子と関係式）は何か？
• RQ5 ドリンフェルト双対と標準フィルトレーションの手法により、野生的表現型のホップ代数の新しい例が得られるか？

主な発見

• 12次元のホップ代数 $\mathcal{C}$ のドリンフェルト双対 $\mathcal{D}$ は、単純モジュールと射影被覆の解析により、野生的表現型であることが示された。
• ${}^{\mathcal{C}}_{\mathcal{C}}\mathcal{YD}$ の任意の対象 $V$ に対して、$\mathcal{B}(V)$ が有限次元であるならば、$V$ は半単純でなければならない。
• 部分単純モジュール $V_{2,2}$, $V_{2,4}$, $V_{3,1}$, $V_{3,5}$ に関連するニコルズ代数は有限次元であり、生成子と関係式を用いて明示的に記述された。
• $\mathcal{B}(V_{2,2})\sharp\mathcal{C}$, $\mathcal{B}(V_{2,4})\sharp\mathcal{C}$, $\mathcal{B}(V_{3,1})\sharp\mathcal{C}$, $\mathcal{B}(V_{3,5})\sharp\mathcal{C}$ はすべて次元72であり、Chevalley性質を満たさない。
• 関係式 $x^3 = 0$, $xy - yx = 0$, $x^2 - \xi^2 y^2 = 0$ が得られた代数で成り立つことから、$A \cong \mathrm{gr}\,A$ であり、ボゾニゼーションとの同型が確認された。
• $k \in \{1,3,5\}$ に対して、$\bigwedge\mathds{k}_{\chi^k}\sharp\mathcal{C}$ は次元24であり、これもChevalley性質を満たさない。