[論文レビュー] Some hypergeometric summation theorems and reduction formulas via Laplace transform method

M. I. Qureshi, Showkat Ahmad Dar|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2018

Mathematical functions and polynomials参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ラプラス変換法を用いて、一般化超幾何関数 ${}_{3}F_{2}(/pm 1)$, ${}_{4}F_{3}(1)$, ${}_{6}F_{5}(/pm 1)$, ${}_{7}F_{6}(/pm 1)$, および ${ }_{8}F_{7}(/pm 1)$ の新しい超幾何級数の和公式および還元公式を導出する。また、これらの関数を用いて一般化された双曲積分の解析的解を確立し、新たな閉形式の結果を導き、収束条件を明確にした上で既知の和公式を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we obtain analytical solutions of Laplace transform based some generalized class of the hyperbolic integrals in terms of hypergeometric functions ${}_3F_2 (\pm1)$, ${}_4F_3 (\pm1)$, ${}_5F_4(\pm1)$, ${}_6F_5(\pm1)$, ${}_7F_6(\pm1)$ and ${}_8F_7(\pm1)$ with suitable convergence conditions, by using some algebraic properties of Pochhammer symbols. In addition, reduction formulas for ${}_4F_3(1)$, ${}_7F_6(-1)$ and some new summation theorems (not recorded earlier in the literature of hypergeometric functions) for ${}_3F_2(-1)$, ${}_6F_5(\pm1)$, ${}_7F_6(\pm1)$ and ${}_8F_7(\pm1)$ are obtained.

研究の動機と目的

• 一般化された双曲積分の解析的解をラプラス変換法を用いて導出すること。
• 文献に既に記録されていない ${}_{3}F_2(-1)$, ${}_{6}F_5(/pm 1)$, ${}_{7}F_6(/pm 1)$, および ${ }_{8}F_7(/pm 1)$ の新しい和公式を導出すること。
• ${}_{4}F_3(1)$ および ${}_{7}F_6(-1)$ の還元公式を、ポッヒャーマー記号の代数的性質を用いて確立すること。
• 双曲正弦・正割関数の商の定積分を、明示的な収束基準を伴う一般化超幾何関数で表現すること。
• ラプラス変換法と双曲関数の積の恒等式を統合することで、超幾何関数論における既知の結果を拡張すること。

提案手法

• 一般化された双曲積分にラプラス変換を適用し、$p, q$ が最大8までとなる ${}_{p}F_q(/pm 1)$ の超幾何関数で表現すること。
• ポッヒャーマー記号 $(\bullet)_n$ の代数的恒等式を用いて、超幾何級数を操作・簡約すること。
• 不完全ベータ関数 $B_z(\bullet,\bullet)$ を含む連続関数関係および積分表現を用いて、再帰的性質を持つ恒等式を導出すること。
• 双曲関数（例：$\tanh$, $\tanh$, $\tanh$）の積の公式を適用し、被積分関数をラプラス変換による評価に適した形に変換すること。
• ディクソンの定理などの既知の和公式を、パラメータの代入と関数変換を用いて拡張すること。
• 特に $\text{Re}(b) > 0$ および $\text{Re}(b \times \text{sign}(\bullet) \times \text{sum}) > 0$ といったパラメータの実部による収束条件の妥当性を検証し、正則性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲正接関数 $\tanh$, $\tanh$, $\tanh$ の商を含む一般化された双曲積分に対して、ラプラス変換法を体系的に適用できるか。
• RQ2 ポッヒャーマー記号の代数的変形を用いて、${}_{3}F_2(-1)$, ${}_{6}F_5(/pm 1)$, ${}_{7}F_6(/pm 1)$, および ${ }_{8}F_7(/pm 1)$ の新しい和公式をどのように導出できるか。
• RQ3 ${}_{4}F_3(1)$ および ${ }_{7}F_6(-1)$ の還元公式を、連続関数関係および積分恒等式を用いてどのように構成できるか。
• RQ4 積分 $\frac{\tanh(ax)\tanh(bx)}{\tanh(cx)}$ や類似形式に対して、これらの超幾何関数表現が有効であるための正確な収束条件は何か。
• RQ5 ラプラス変換および超幾何関数の恒等式を用いて、双曲関数の積を含む定積分の新たな閉形式評価を導出できるか。

主な発見

• 積分 $\bigint_{0}^{\infty} \frac{\tanh(ax)\tanh(bx)}{\tanh(cx)} \, dx$ は、$\text{Re}(b) > 0$ および $\text{Re}(b \times \text{sign}(\bullet) \times \text{sum}) > 0$ の下で、ガンマ関数と ${}_{7}F_6(1)$ 超幾何関数の組み合わせとして評価される。
• 同様の積分は、$\text{Re}(b) > 0$ および $\text{Re}(b \times \text{sign}(\bullet) \times \text{sum}) > 0$ の下で、パラメータに $\frac{1}{2} \times (\text{sign}(\bullet) \times \text{radical})$ を含む ${}_{8}F_7(-1)$ 関数としても表現可能である。
• 新しい ${}_{3}F_2(-1)$ の和公式が導出された：$${}_{3}F_2\big(\begin{smallmatrix}a, 1+\frac{a}{2}, b \\ \frac{a}{2}, 1+a-b \\ ot\text{end}\right) = \frac{\text{B}(\frac{1+a}{2}, 1+a-b)}{\text{B}(\frac{1+a}{2}-b, 1+a)}$$ であり、$\text{Re}(b) < \frac{1}{2}$ の下で成立する。
• ${}_{4}F_3(1)$ および ${}_{7}F_6(-1)$ の還元公式が得られ、パラメータ変換および連続関係を用いて既知の結果を拡張した。
• $\bigint_{0}^{\infty} \frac{\tanh(ax)\tanh(bx)}{\tanh(cx)} \, dx$ のような積分の新たな閉形式評価が、$\frac{\tan(\frac{\theta}{2}) + \tan(\frac{\theta'}{2})}{4b}$ のような三角関数および双曲関数を用いて、指定された収束領域で表現された。
• 本稿では、$\frac{\tanh(ax)\tanh(bx)}{\tanh^v(cx)}$ を含む積分が、$\text{Re}(v) < 2$ または $\text{Re}(v) < 1$（形式に応じて）の下でガンマ関数と ${}_{p}F_q(\text{引数})$ 関数を用いて評価可能であることを確立した。