[論文レビュー] Some identities for Bernoulli polynomials involving Chebyshev polynomials

Dae San Kim, Taekyun Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2012

Advanced Mathematical Identities参考文献 13被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、重み付き内積空間における直交性関係およびロドリゲス型公式を用いて、ベルヌーイ、オイラー、エルミート多項式を第二種チェビシェフ多項式の有限線形結合として表す新しい明示的恒等式を導出する。主な貢献は、ベルヌーイ数、オイラー数、エルミート数および組み合わせ係数を含む係数を用いて、$ B_n(x) $、$ E_n(x) $、$ H_n(x) $ を $ U_k(x) $ の閉形式展開として得ることである。

ABSTRACT

In this paper, we derive some new and interesting idebtities for Bernoulli, Euler and Hermite polynomials associated with Chebyshev polynomials.

研究の動機と目的

• 古典的直交多項式—ベルヌーイ、オイラー、エルミート多項式—を第二種チェビシェフ多項式を用いて新しい明示的表現を確立すること。
• 重み付き内積 $ \langle f,g \rangle = \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} f(x)g(x) dx $ における $ U_n(x) $ の直交性を活用して展開を導出すること。
• ロドリゲスの公式および積分恒等式を用いて、これらの展開の閉形式係数表現を導出すること。
• チェビシェフ多項式を基底関数として用いる直交級数展開に統合することで、既知の多項式恒等式を一般化すること。

提案手法

• 重み $ \sqrt{1-x^2} $ を持つ内積空間 $ \mathbf{P}_n^* $ を定義し、$ \{U_k(x)\} $ が直交基底をなすことを確認する。
• 第二種チェビシェフ多項式のロドリゲスの公式 $ U_n(x) = \frac{(-1)^n 2^n (n+1)!}{(2n+1)!} (1-x^2)^{-1/2} \frac{d^n}{dx^n} (1-x^2)^{n+1/2} $ を用い、部分積分により係数を表現する。
• $ p(x) = x^n $、$ B_n(x) $、$ E_n(x) $、$ H_n(x) $ を $ \{U_k(x)\} $ 基底に展開し、係数公式 $ C_k = \frac{2}{\pi} \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} U_k(x) p(x) dx $ を適用する。
• 恒等式 $ \int_{-1}^1 (1-x^2)^{k+1/2} x^l dx = 0 $（$ l $ が奇数の場合）、$ l $ が偶数の場合にはベータ関数型の表現が成り立つことを利用して積分を簡略化する。
• ベルヌーイ多項式の二項展開 $ B_n(x) = \sum_{l=0}^n \binom{n}{l} B_{n-l} x^l $ および $ E_n(x) $、$ H_n(x) $ に対しても同様の展開を適用し、係数積分に代入する。
• 項をまとめ、組み合わせおよび階乗係数を簡略化することで最終的な展開式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルヌーイ多項式は第二種チェビシェフ多項式の有限線形結合として表現可能か？
• RQ2 このような展開の明示的係数式は、ベルヌーイ数、オイラー数、エルミート数を用いてどのように表されるか？
• RQ3 $ U_n(x) $ の直交性およびロドリゲスの公式をどのように用いて古典的直交多項式の恒等式を導出できるか？
• RQ4 重み付き内積 $ \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} f(x)g(x) dx $ は、これらの展開を構築する上で果たす役割は何か？
• RQ5 オイラー多項式およびエルミート多項式に対しても、同様の基底および手法を用いた類似恒等式が存在するか？

主な発見

• 単項式を $ U_k(x) $ で表す恒等式 $ x^n = \frac{n!}{2^n} \sum_{\substack{0 \leq k \leq n \\ k \equiv n \pmod{2}}} \frac{k+1}{\left(\frac{n+k+2}{2}\right)! \left(\frac{n-k}{2}\right)!} U_k(x) $ が導出された。
• ベルヌーイ多項式は $ B_n(x) = n! \sum_{k=0}^n \left( \frac{k+1}{2^k} \sum_{\substack{0 \leq l \leq n-k \\ l \equiv 0 \pmod{2}}} \frac{B_{n-k-l}}{2^l (n-k-l)! \left(\frac{2k+l+2}{2}\right)! \left(\frac{l}{2}\right)!} \right) U_k(x) $ を満たし、新たな基底展開が得られた。
• オイラー多項式は同様に $ E_n(x) = n! \sum_{k=0}^n \left( \frac{k+1}{2^k} \sum_{\substack{0 \leq l \leq n-k \\ l \equiv 0 \pmod{2}}} \frac{E_{n-k-l}}{2^l (n-k-l)! \left(\frac{2k+l+2}{2}\right)! \left(\frac{l}{2}\right)!} \right) U_k(x) $ として展開された。
• エルミート多項式は $ H_n(x) = n! \sum_{k=0}^n \left( (k+1) \sum_{\substack{0 \leq l \leq n-k \\ l \equiv 0 \pmod{2}}} \frac{H_{n-k-l}}{(n-k-l)! \left(\frac{2k+l+2}{2}\right)! \left(\frac{l}{2}\right)!} \right) U_k(x) $ として表現され、エルミート数を含む係数が得られた。
• 導出は $ U_k(x) $ の直交性およびロドリゲスの公式に依拠し、$ [-1,1] $ 上で $ \sqrt{1-x^2} $ を重みとする積分を用い、閉形式の係数表現が得られた。
• すべての展開は $ n \in \mathbb{Z}_+ $ に対して有効であり、積分の対称性により $ l $ が偶数のときのみ非ゼロ寄与が生じるため、和は $ l $ が偶数に制限される。